La fonction inverse- Terminale- Mathématiques
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- Connaitre la définition et la courbe représentative de la fonction inverse.
- Connaitre la fonction dérivée de la fonction inverse.
- Connaitre le sens de variation de la fonction inverse.
- Pour deux nombres
et 
donnés et la fonction
inverse 
, comparer 
et 
graphiquement.
- On appelle fonction inverse la fonction
qui, à tout nombre
réel 
non nul, associe son
inverse 
. Pour tout 
,
on note 
.
- La fonction inverse est définie sur la
réunion d’intervalles
.
- La dérivée de la fonction inverse est
définie sur la réunion d’intervalles
et vaut
.
- La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole. Elle est symétrique par rapport au point O, origine du repère. Elle adment les axes du repère comme asymptotes en 0 et en l'infini.
- La fonction inverse est strictement décroissante
sur l'intervalle
et strictement
décroissante sur l'intervalle 
.
- Comme la fonction inverse est strictement
décroissante sur l'intervalle et sur
l'intervalle :
- si
et 
sont deux réels
strictement négatifs, alors 
équivaut
à 
(l’inégalité change de
sens) ;
- si
et 
sont deux réels
strictement positifs, alors 
équivaut
à 
(l’inégalité change de
sens).
- si
- Fonction
- Nombre dérivé d'une fonction
- Représentation graphique et tableau de variation
qui, à tout nombre
réel non nul, associe son
inverse .Pour tout
,
on note .
.
et strictement
décroissante sur l'intervalle .
car n'est pas un intervalle
continu.
par.
Pour tracer la courbe représentative de la fonction inverse, on utilise son tableau de variation et on détermine les coordonnées de quelques points de la courbe. On peut rassembler les résultats dans un tableau.
|
–2 | –1 | –0,5 | 0,5 | 1 | 2 | 4 |
|
|
–0,5 | –1 | –2 | 2 | 1 | 0,5 | 0,25 |
On obtient ainsi la représentation graphique suivante :
- La courbe représentative de la fonction inverse dans un repère (O, I, J) s’appelle une hyperbole.
- Cette courbe représentative est
symétrique par rapport à l'origine
O du repère. Pour tout
, les points
et 
appartenant à
l'hyperbole sont donc symétriques par
rapport au centre de symétrie O. L'origine
du repère O est le milieu de [MM'].
L'hyperbole passe en particulier par les points :
-
, 
, 
;
-
, 
et 
.
On observe que lorsque x tend vers l'infini, la courbe de la fonction inverse s'approche sans cesse davantage de l'axe des abscisses. On dit alors que la courbe représentative de la fonction inverse admet l'axe des abscisses pour asymptote en + ∞ et en - ∞.
De même quand x tend vers 0, que ce soit par valeurs positives ou bien par valeurs négatives, on observe que la courbe de la fonction inverse s'approche sans cesse davantage de l'axe des ordonnées. On dit alors que la courbe représentative de la fonction inverse admet l'axe des ordonnées pour asymptote en 0.
On considère la fonction inverse et sa courbe représentative.
Soit 
, 
, 
et 
quatre points de la courbe tels
que :
-
et négatifs et
;
-
et positifs et .
L’objectif est de comparer 
et 
d’une part ;
et 
d’autre part.
Comme la fonction inverse est strictement
décroissante sur l'intervalle et sur
l'intervalle :
- si et sont deux
réels strictement négatifs, alors
équivaut
à
(l’inégalité change de sens) ;
- si et sont deux
réels strictement positifs,
alors équivaut
à (l’inégalité
change de sens).
Comparer
et 
.2 et 3 sont deux réels positifs. On commence par comparer 2 et 3, puis on applique la fonction inverse :
. L’inégalité change de sens car
la fonction inverse est strictement décroissante
sur .
À quel intervalle appartient
lorsque appartient à
? appartient à ; or la fonction inverse est
strictement décroissante sur l’intervalle
.Donc
,donc
.
Donner un encadrement de
sachant que appartient à 
.Ici, l’intervalle contient une partie négative
et une partie positive
. Il faut étudier les
deux parties séparément.- Sur , la fonction inverse
est strictement décroissante donc
l’inégalité change de
sens :
donc 
.
- Sur , la fonction inverse
est strictement décroissante donc
l’inégalité change de
sens :
donc 
.
, 
.
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