Orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan
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Objectif
Établir l'orthogonalité de deux droites.
Établir l'orthogonalité d'une droite et d'un plan.
Établir l'orthogonalité d'une droite et d'un plan.
En géométrie plane, « orthogonal »
signifie « perpendiculaire ».
En géométrie dans l'espace, le terme « perpendiculaire » est réservé aux droites orthogonales et sécantes.
En géométrie dans l'espace, le terme « perpendiculaire » est réservé aux droites orthogonales et sécantes.
1. Droites orthogonales
Deux droites sont orthogonales si leurs
parallèles respectives passant par un même
point sont perpendiculaires.
Exemple :
On considère le
parallélépipède rectangle ABCDEFGH :
Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car la
parallèle (DC) à (AB) est perpendiculaire
en C à (CG).
2. Orthogonalité d'une droite et d'un plan
a. Généralités
Une droite (d) et un plan P sont orthogonaux si
la droite (d) est orthogonale à toute
droite du plan P.
Propriété :
Si une droite (d) est orthogonale à deux
droites sécantes du plan P, alors elle est
orthogonale au plan P.
Exemple :
Dans le cube ABCDEFGH, on a :
♦ (BD) perpendiculaire à (AC) car ce sont
les diagonales d'un carré ;
♦ (BD) orthogonale à (AE) car les
parallèles respectives (BD) et (BF) sont
perpendiculaires.
Donc la droite (BD) est perpendiculaire au plan
(AEC).
b. Propriétés
On admet les propriétés suivantes :
1. Deux droites orthogonales à un même
plan sont parallèles entre elles.
2. Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
3. Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.
4. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
2. Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
3. Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.
4. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
L'essentiel
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles
respectives passant par un même point sont
perpendiculaires.
Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.
Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.
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