Combinaisons dans un ensemble fini et coefficients binomiaux

Propriété
Soit E un ensemble fini de cardinal n et k un entier tel que 0 ≤ k ≤ n. Alors le nombre de combinaisons de k éléments de E est noté  et on a :

Pour obtenir un k-uplet d’éléments distincts de E, on peut procéder de la manière suivante :

• on choisit une partie de E à k éléments, c’est-à-dire une combinaison de k éléments de E : il y en a  ;
• on ordonne ensuite ces k éléments, c’est-à-dire on les permute. Il y a k! possibilités.

Ainsi on en déduit, d’après le principe multiplicatif, qu’il y a k! ×  k-uplets d’éléments distincts de E.
Or on sait que le nombre de k-uplets d’éléments distincts de E est .
Donc .
Ainsi .
Or .
Donc .

On simplifie les factorielles .

Exemple

Remarque
Pour Casio et TI, on tape 11C4 pour .

Exemple fondamental à connaitre : Tirage simultané
Une urne contient 15 boules. On tire simultanément 7 boules de l’urne.
Un tirage possible est une combinaison de 7 éléments de l’urne.
Il y a  tirages possibles.

Remarque
Le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est 2ⁿ. Cela représente le nombre de parties à 0 élément , plus le nombre de parties à 1 élément , plus le nombre de parties à 2 éléments , … plus le nombre de parties à n éléments .
Ainsi ou encore .

Soit E un ensemble de cardinal n.

1. Dans E, il y a une seule partie à 0 élément : c’est l’ensemble vide donc .
   De même, il y a une seule partie qui contient tous les éléments : c’est E, donc .
2. Il y a autant de parties à 1 élément que d’éléments dans E donc .
3. On utilise la formule .
4. Soit n et k deux entiers naturels tels que 0 ≤ k ≤ n, est le nombre de parties à k éléments de E, est le nombre de parties à n – k éléments de E.
   Or, à chaque partie à k éléments de E correspond une partie à n – k éléments de E.
   Il y donc autant de parties à k éléments que de parties à n – k éléments dans E.
   Donc .
5. Soit E un ensemble à n éléments avec n ≥ 2.
   Soit a un élément fixé appartenant à E.
   Soit k un entier naturel tel que 1 ≤ k ≤ n – 1, le nombre de parties à k éléments est .
   On effectue une partition de ces parties à k éléments :
   • soit A l’ensemble de ces parties qui ne contiennent pas a : elles contiennent k éléments parmi les n – 1 éléments de E distincts de a, il y en a donc  ;
   • soit B l’ensemble de ces parties qui contiennent a : elles contiennent k – 1 éléments parmi n – 1 éléments de E distincts de a, il y en a .
   A et B sont disjoints donc card (A ⋃ B) = card A + card B, soit .

Grâce à la relation de Pascal, on peut calculer connaissant et .
On utilise le tableau ci-dessous appelé triangle de Pascal : on trouve à l’intersection de la n-ième ligne et de la k-ième colonne.
On place des 1 dans la première colonne puisque et des 1 sur la première diagonale puisque .
On obtient les autres coefficients en utilisant la relation de Pascal :

Exemple : et , donc .