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Écrire un entier positif dans une base donnée

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Objectifs
  • Comprendre la décomposition dans la base 10.
  • Écrire un entier naturel dans une base 2, 10 ou 16.
Points clés
  • On peut exprimer un nombre dans différentes bases, il faut savoir passer de l’une à l’autre.
  • Dans la base 10, un nombre s’écrit sous la forme d’une somme de puissances de 10.
  • Dans une base ≥ 2, tout nombre entier  peut s'écrire sous la forme , avec  un entier naturel et  les des entiers naturels compris entre 0 et .
Pour bien comprendre

Puissances d’un nombre

1. Représentation en base 10

Notre manière d’écrire les nombres, depuis le Moyen Âge, utilise le système décimal positionnel. On utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 pour écrire un nombre et c’est la position du chiffre qui indique ce qu’il représente, c’est-à-dire des unités, des dizaines, etc.


Tableau des unités

Un nombre s’écrit donc sous la forme d’une somme de puissances de 10.

Exemple
2. Représentation dans une base b >= 2
a. Définition
Soit un entier supérieur ou égal à 2, alors tout nombre entier  peut s'écrire sous la forme suivante.
 
avec :
  • un entier naturel
  • des entiers naturels compris entre 0 et 

On dit que  est la représentation de  dans la base .

Remarques
  • En base 10, un nombre peut s’écrire avec des entiers naturels compris entre 0 et 9.
  • En base 8, un nombre peut s’écrire avec des entiers naturels compris entre 0 et 7.
  • En base 2, un nombre peut s’écrire avec les entiers naturels 0 et 1. On parle alors de bit (provient de l’anglais binary digit).
Exemple
On peut vérifier avec la calculatrice que la valeur décimale 2019 s’écrit :


Remarque
On indique en position indicielle la base. On écrit par exemple .
b. Cas particulier de b = 2 (binaire)

Dans le cas où  = 2 (binaire), on utilise 0 et 1. On dira alors que  est un bit (contraction anglaise de binary digit).

Exemple
Dans le nombre 111111000112, les différents 1 et 0 sont des bits.
c. Cas particulier de b = 16 (hexadécimale)

Dans le cas où  = 16 (hexadécimale), on utilise six lettres-chiffres en plus des ordinaires.

Le tableau ci-dessous donne la correspondance hexadécimal / décimal.

Pour afficher l’écriture d’un nombre dans une base donnée, on utilise la méthode Python suivante.

Méthode en Python

Python – méthode pour afficher l’écriture dans des bases d’un nombre

On obtient alors le résultat suivant dans la console.


Python – affichage du nombre dans les bases demandées
Remarque
Les deux premiers caractères indiquent la base : « 0b » pour le binaire, « 0o » pour la base 8 et « 0x » pour la base 16.

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Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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