Représenter les nombres réels en binaire
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Coder un nombre réel en binaire et comprendre que les calculs sont approchés.
- Un nombre flottant permet de représenter les réels sous la forme (–1)signe × 1,mantisse × 2±décalage.
- Il existe différentes manières de coder un nombre réel, on privilégie la notion de nombre flottant. Il faut faire attention au fait qu’un réel sera toujours approché.
- Base du codage binaire
- Partie entière et décimale d’un nombre
En informatique, le nombre de bits pour coder un nombre en binaire est limité. Un nombre réel est donc un nombre décimal pour l’ordinateur. Il faut coder une partie entière et une partie décimale.
- On multiplie la partie décimale par 2, puis on stocke la partie entière.
- On réapplique ce qui précède à la nouvelle partie entière et cela jusqu’à ce que la partie décimale soit nulle.
La partie entière 1010 se code en binaire par 10102.
La partie décimale est 0,37510.
- On effectue 0,3752 × 2 = 0,750 : on conserve 0.
- On effectue 0,750 × 2 = 1,50 : on conserve 1.
- On effectue 0,502 = 1 : on conserve 1.
- La partie décimale est nulle, donc on s’arrête.
Cette méthode peut cependant ne pas s’arrêter, ce qui pose problème.
La partie entière est nulle et la partie décimale est 0,110.
- On effectue 0,1 × 2 = 0,2 : on garde 0.
- On effectue 0,2 × 2 = 0,4 : on garde 0.
- On effectue 0,4 × 2 = 0,8 : on garde 0.
- On effectue 0,8 × 2 = 1,6 : on garde 1.
- On effectue 0,6 × 2 = 1,2 : on garde 1.
- On effectue 0,2 × 2 = 0,4 : on garde 0.
- On réobtient les mêmes nombres, on aura donc 00011 qui se répète à l’infini.
L’ordinateur ne prendra qu’un petit nombre de bits, les nombres seront donc approchés.
L’ordinateur ne peut pas coder une virgule, il faut donc normaliser sa position.
Un nombre réel en base 2 peut s’écrire sous la forme normalisée :
Pour écrire un nombre sous cette forme normalisée, on décale la virgule de « décalage » vers la gauche (+) ou la droite (–) pour écrire le nombre avec un seul 1 avant la virgule. La partie décimale est la mantisse.
Il faut en effet décaler la virgule de 4 crans vers la gauche pour obtenir 1,01110112.
La mantisse est 01110112.
La représentation en nombre flottant (ou virgule flottante) utilise la forme suivante.
|
avec :
|
La représentation d’un nombre flottant est de la forme suivante.
| Signe (1 bit) | Exposant (8 bits) | Mantisse (23 bits) |
- On donne la forme normalisée de ce nombre : 10,37510 = 1010,0112 = (–1)0 × 1,010011 × 23.
- Le nombre décimal est positif, le signe vaut donc 0.
- On applique l’exposant « décalage + 127 » : 3 + 127 = 130 codé en binaire par 10000010.
- La mantisse vaut 010011, qu’on complète par des 0 pour avoir 23 bits : on a donc 01001100000000000000000.
- L’écriture en nombre flottant est donc 0 10000010 01001100000000000000000.
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