Le dispositif solide-ressort
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L'étude des caractéristiques du mouvement du dispositif conduit à la résolution d'une équation différentielle.
Le référentiel d'étude est le
référentiel du laboratoire
considéré comme galiléen.
Le système est un solide de masse m et de
centre d'inertie G lié à
l'extrémité d'un ressort de masse nulle et
fixé à une autre extrémité
A.
Le centre d'inertie G du solide peut se déplacer suivant
un axe horizontal (AG).
La deuxième loi de Newton peut être appliquée dans le référentiel d'étude supposé galiléen :
Le mouvement du solide est donc périodique.
La période propre des oscillations est notée
T0 et se mesure en secondes.
• Equation aux dimensions :
T0 est de la forme T0 = 
où C est un coefficient sans
dimension.
m s'exprime en kg et k en N.m-1,
c'est-à-dire en (kg.m.s-2).m-1,
soit kg.s-2.
On en déduit que T02 s'exprime en
kg / (kg.s-2) soit en s2.
Donc T0 se mesure bien en secondes (s).
Remarque : l'équation aux dimensions ne permet
pas de déterminer le coefficient C.
• Calcul de la période propre à partir de
l'équation du mouvement :
Comme 
, on
peut écrire : 
L'équation différentielle du mouvement est
vérifiée si : 
;
b. Fréquence
avec 
On en déduit l'expression suivante :
.
c. Amplitude
d. Exemple
Un solide de masse m = 600 g (0,600 kg) attaché
à un ressort de raideur k = 150
N.m-1 horizontal fixé à l'une de ses
extrémités, est écarté, sans
vitesse initiale, de sa position d'équilibre de
d = 5 cm.
On suppose que le solide peut se déplacer sans
frottement suivant un axe horizontal.
Le solide a un mouvement périodique de période
propre :
Le mouvement est pseudo-périodique avec
une pseudo-période proche de la période propre
T0 de l'oscillateur non amorti.
L'amplitude des oscillations diminue au cours du temps.
Si les frottements sont importants, le
système n'oscille plus ou très peu, le mouvement
est alors apériodique.
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