Concourance des droites remarquables d'un triangle - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Concourance des droites remarquables d'un triangle

1. Les définitions


Le tableau suivant résume les propriétés des droites remarquables d’un triangle :



2. Avec les médiatrices
Construire un triangle ABC. On a AB=6cm, AC=5,5cm et BC=4,5cm.
Construire la médiatrice du côté [AB].
Placer un point M sur cette médiatrice, quelle qualité a ce point M ?


Construire les médiatrices des côtés [AC] et [BC].
Placer le point O à l’intersection des médiatrices.
Construire le cercle de centre O passant par A. Comment s’appelle ce cercle ?
Pourquoi ce cercle passe-t-il par les points B et C ?



Illustration animée : Concourance des médiatrices.

Dans l'animation suivante, on peut déplacer les points A, B et C, sommets du triangle : les médiatrices de chaque côté sont apparentes (droites rouges), elles sont concourantes en O, centre du cercle circonscrit au triangle.

 

Utilisation de l'animation :


1) Déplacer les points A, B et C de façon à obtenir un triangle rectangle en C.
Le symbole de l'angle droit s'affiche lorsqu'un angle mesure 90°, en cas de doute on peut toujours utiliser le rapporteur, en plaçant le point du milieu sur le C. On mesure ensuite un écart de 90°, puis on déplace A et B de sorte que les segments [CA] et [CB] coïncident avec les segments verts du rapporteur.

2) Où est situé le point O, centre du cercle circonscrit au triangle ABC ?

3) Tous les points d'un cercle sont situés à égale distance du centre du cercle : la distance OA est donc égale à OB et on sait que O est situé sur [AB].
Que représente le segment [AB] pour le cercle circonscrit ?
[AB] est un diamètre du cercle de centre O, circonscrit au triangle ABC.
[AB] est aussi appelé l'hypothénuse (c'est-à-dire le côté opposé à l'angle droit) du triangle ABC, rectangle en C.


4) Déplacer le point C de façon à former un autre angle droit. Que peut-on remarquer ?
[AB] hypothénuse du triangle ABC rectangle en C, est le diamètre du cercle de centre O, circonscrit au triangle ABC. On peut essayer de voir si cette affirmation se vérifie pour plusieurs triangles rectangles...

3. Avec les médianes
Soit le triangle ABC avec AB=6cm, AC=5,5cm et BC=4,5cm.
Construire les médianes de ce triangle.
Comment s’appelle le point d’intersection de ces médianes ? On le note G.



Le tableau suivant met en évidence la relation de proportionnalité qui lie différents segments de la figure.
Que peut-on en déduire pour la position de G sur chaque médiane ?



Si on reporte la longueur A’G sur la médiane [AA’] en partant du point A, on partage le segment [AA’] en 3 segments égaux.

Illustration animée : Concourance des médianes.

Dans l'animation suivante, on peut déplacer les points A, B et C, sommets du triangle : les médianes issues de chaque sommet sont apparentes (droites vertes), elles sont concourantes en S, centre de gravité du triangle.


Utilisation de l'animation :

A l'aide de la règle, mesurer la longueur des segments puis calculer les rapports suivants :
AA'/SA' ; BB'/SB' ; CC'/SC'.
Attention, il faut tenir compte du fait que les mesures sont approximatives, on arrondira donc le résultat des rapports à l'unité près.
Que peut-on déduire de ces rapports ?

On a AA'/SA' = BB'/SB' = CC'/SC' = 3.
Le point S, centre de gravité du triangle, est situé au tiers de chaque médiane (aux 2/3 en partant su sommet dont est issue la médiane).


4. Avec les hauteurs
Illustration animée : Concourance des hauteurs d’un triangle.

Déplacer les sommets A, B et C du triangle, les hauteurs issues de chaque sommet apparaissent en rouge et se coupent en H.


Utilisation de l'animation :

1) Comment appelle-t-on le point H ?
Le point H, point d’intersection des hauteurs du triangle ABC, est l’orthocentre du triangle ABC.

2) Quel est l'orthocentre du triangle ABH ?
Le triangle ABH a pour hauteurs  :
(C'H), hauteur issue de H, perpendiculaire à (AB), qu'on peut aussi appeler (HC)
(AB'), hauteur issue de A, perpendiculaire à (BH), qu'on peut aussi appeler (AC).
(BA'), hauteur issue de B, perpendiculaire à (AH), qu'on peut aussi appeler (BC).
Ces trois hauteurs se coupent en C qui est donc l'orthocentre du triangle ABH.


3) Quel est l'orthocentre du triangle ACH ?
Le triangle ACH a pour hauteurs (CB), (AB) et (HB), l'orthocentre de ce triangle est donc B.

4) Quel est l'orthocentre du triangle BCH ?
Le triangle BCH a pour hauteurs (HA), (BA) et (CA), l'orthocentre est donc A.

5. Avec les bissectrices
Illustration animée : Concourance des bissectrices d’un triangle.

Déplacer les sommets A, B et C du triangle.
- La bissectrice issue de A, qui sépare en deux angles égaux l’angle BAC, apparaît en rouge.
- La bissectrice issue de B, qui sépare en deux angles égaux l’angle ABC, apparaît en bleu.
- La bissectrice issue de C, qui sépare en deux angles égaux l’angle ACB, apparaît en noir.
Les bissectrices sont coucourantes en O.

Utilisation de l'animation :

Comment s’appelle le cercle de centre O représenté en bleu ?
Le cercle de centre O est le cercle inscrit au triangle ABC.

Le tracé du cercle est tangent aux 3 côtés du triangle, c’est-à-dire que chaque côté et la portion de cercle qui lui est le plus proche semblent se confondre.

L'essentiel

Les droites remarquables d'un triangle sont concourantes :

- Les médiatrices d'un triangle se coupent en un point. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle.
- Les médianes d'un triangle se coupent en un point. Ce point est le centre de gravité du triangle.
- Les hauteurs d'un triangle se coupent en un point. Ce point est l'orthocentre du triangle.
- Les bissectrices d'un triangle se coupent en un point. Ce point est le centre du cercle inscrit au triangle.

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