Combinaisons
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Comprendre le théorème du nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments
- Apprendre les formules et savoir retrouver la démonstration
.On appelle combinaison de p éléments de E, toute partie de E ayant p éléments.
Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble de n éléments est noté
.Il se lit "p parmi n".
Ainsi
est le nombre de parties
constituée de p éléments d'un
ensemble à n éléments.
Démonstration : Soit E un ensemble à
n éléments.
À partir d'une partie de E ayant p
éléments ( distincts par définition
du mot partie), on peut fabriquer p! listes
ordonnées de p éléments
distincts.
Il y a par définition, 
parties de p
éléments, donc il y a, en tout, 
listes ordonnées de p
éléments distincts de E.
Or, le nombre N de listes ordonnées de p
éléments distincts de E est :
N = n x (n-1) x (n-2) x ... x (n-p+1).
On en déduit que 
d'où le
résultat.
Exemple : Il y a 220 façons de tirer
simultanément 3 boules (ou l'une
après l'autre sans remise) d'une urne qui
en contient 12.
En effet, on cherche le nombre de combinaisons de 3
éléments d'un ensemble de 12
éléments :
Dans un ensemble de n éléments :
•
est le nombre de parties
constituées de 0 élément; seule la
partie vide est constituée de 0
élément donc 
•
est le nombre de parties
constituées de 1 élément donc
•
est le nombre de parties
constituées de n éléments; seule la
partie égale à E lui-même, est
constituée de n éléments donc
Quels que soient les entiers n et p tels que
Démonstration :
• À chaque partie de E constituée de p éléments, on peut associer une partie constituée de (n-p) éléments
Donc, il y a autant de parties à p éléments que de parties à (n-p) éléments, d'où la première formule.
• Soit a, un élément particulier de E. Le nombre
de parties de p
éléments de E est égal à la
somme du nombre de parties de p
éléments ne contenant pas a et du
nombre de parties de p éléments
contenant a. Il y a 
parties de p
éléments ne contenant pas a. Si F est
l'ensemble des éléments de E
différents de a, il y a 
parties de (p-1)
éléments de l'ensemble F, or en ajoutant
a à chacune des parties, on obtient les
parties de p éléments contenant
a; d'où la deuxième formule.Exemples:
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