Loi de Bernoulli - Loi binomiale
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Objectifs :
- Savoir identifier une épreuve de Bernoulli et
appliquer la loi de Bernoulli
- Connaître le schéma de Bernoulli
- Appliquer la loi binomiale
- Connaître le schéma de Bernoulli
- Appliquer la loi binomiale
1. Loi de Bernoulli
Épreuve de
Bernoulli
Si une épreuve ne présente que deux issues ( = résultats) possibles, on l'appelle épreuve de Bernoulli. Les deux résultats sont appelés succès et échec.
Si une épreuve ne présente que deux issues ( = résultats) possibles, on l'appelle épreuve de Bernoulli. Les deux résultats sont appelés succès et échec.
Exemple
On choisit par hasard un élève du lycée L et on lui demande de répondre par "Oui" ou "Non" s'il va au moins une fois par mois au CDI. Le résultat de l'épreuve est la réponse de l'élève : "Oui" ou "Non". C'est une épreuve de Bernoulli.
Loi de Bernoulli
Soit une épreuve de Bernoulli et soient S et E les deux résultats possibles. On pose :
On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si l'issue est S et la valeur 0 si l'issue est E.
Soit une épreuve de Bernoulli et soient S et E les deux résultats possibles. On pose :
On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si l'issue est S et la valeur 0 si l'issue est E.
|
X
|
1
|
0
|
|
Probabilité
|
p
|
q
|
Par définition, la loi de probabilité de
la variable aléatoire X est appelée loi de
Bernoulli de paramètre p.
L'espérance mathématique de X est E(X) = p et sa variance V(X) = pq.
L'espérance mathématique de X est E(X) = p et sa variance V(X) = pq.
Exemple
On choisit par hasard un élève du lycée L et on lui demande de répondre par "Oui" ou "Non" s'il va au moins une fois par mois au CDI. Une étude statistique a montré que la probabilité que l'élève réponde "Oui" est
.On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la réponse est "Oui" et la valeur 0, si elle est "Non".
La loi de probabilité de X est une loi de Bernoulli de paramètre
.
2. Schéma de Bernoulli
Si une épreuve de Bernoulli est
répétée plusieurs fois, à
l'identique, et que les résultats des
épreuves successives sont indépendants les
uns des autres, on donne à la situation le nom de
schéma de Bernoulli.
Exemple
On répète 10 fois, de façon indépendante, le choix au hasard d'un élève du lycée L et on demande à chacun d'eux de répondre par "Oui" ou "Non" s'il va au moins une fois par mois au CDI.
3. Loi binomiale
Soit une épreuve de Bernoulli et soit p la
probabilité d'obtenir un succès (et
donc q = 1 - p, la probabilité d'un
échec).
Si l'épreuve est répétée n fois dans les conditions du schéma de Bernoulli, c'est-à-dire que les épreuves sont identiques et indépendantes, alors la probabilité d'obtenir k succès est :
Si l'épreuve est répétée n fois dans les conditions du schéma de Bernoulli, c'est-à-dire que les épreuves sont identiques et indépendantes, alors la probabilité d'obtenir k succès est :
La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès est appelée la loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi ne dépend que de n et de p.
L'espérance mathématique de x est E(X) = np et sa variance est V(X) = npq.
Exemple
On choisit par hasard un élève du lycée L et on lui demande de répondre par "Oui" ou "Non" s'il va au moins une fois par mois au CDI. Une étude statistique a montré que la probabilité que l'élève réponde "Oui" est
. On répète 10 fois,
de façon indépendante, le choix au hasard
d'un élève du lycée L.La probabilité que, parmi les élèves choisis, 6 élèves exactement se rendent au moins une fois par mois au CDI est environ égale à 0,069.
En effet, on appelle succès le fait que l'élève réponde "Oui", la loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre k de succès est la loi binomiale de paramètres n = 10 et
.On cherche la probabilité d'obtenir 6 succès :
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