Résolution graphique d'un système d'équations du 1^er degré à 2 inconnues

Un système d'équations du 1^er degré est de la forme :


Exemple :
Pour la location d’une voiture, il existe deux solutions :
• 1^er loueur : 1,5 euro au kilomètre parcouru.
• 2^e loueur : 80 euros de frais et 0,5 euro au kilomètre parcouru.

Cet énoncé peut s’écrire sous la forme d’un système d’équation :
• 1^er loueur -> y = 1,5x
• 2^e loueur -> y = 0,5x + 80 

Reprenons l’exemple précédent :



Le graphique ci-dessus représente les deux équations données dans le paragraphe 1.
• y = 1,5x (droite rouge)
• y = 0,5x + 80 (droite verte)

a) A l'aide du graphique, on peut résoudre l'équation : y = 1,5x.
Par exemple, pour x = 100, on lit que y = 150.

b) Avec l'équation y = 0,5x + 80, on voit que pour x = 100, y = 130.
On vérifie par le calcul :
y = 0,5 x 100 + 80 = 50 + 80 = 130

c) Cherchons le point d’intersection des deux droites.
Sur le graphique, on s'aperçoit que les deux droites se coupent en un point de coordonnées (80 ; 120).

Vérifions par le calcul.
Pour trouver le point d'intersection, il faut résoudre le système d'équations :

Si on utilise la méthode par substitution, en remplaçant dans la seconde équation y par 1,5x, on obtient :
1,5x = 0,5x + 80
1,5x - 0,5x = 80
x = 80

On peut ensuite calculer y :
y = 1,5 x 80
y = 120

On retrouve bien le couple de solutions (x = 80 ; y = 120) trouvé grâce au graphique.
Sur le graphique, on constate que :
a) si x < 80 alors 1,5x < 0,5x + 80
En effet, la droite rouge est inférieure à la droite verte.
On peut donc dire que sur l’intervalle [0 ; 80[ le 1^er loueur est le moins cher.

b) si x = 80 alors 1,5x = 0,5x + 80
Il s’agit du point d’intersection des deux droites.
Pour x = 80, les 2 loueurs sont au même prix.

c) si x > 80 alors 1,5x > 0,5x + 80
En effet, la droite rouge est supérieure à la droite verte.
Sur l’intervalle ]80 ; +∞[ c'est donc le 2^e loueur qui est le moins cher.