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  Mathématiques appliquées  

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Cours / Mathématiques appliquées / BEP Métiers de l'électrotechnique
En résumé sur l'écriture de l'expression d'une fonction logique combinatoire  

A la suite de cette étude, vous devriez retenir plus particulièrement les points suivants.

Une table de vérité d'une fonction logique combinatoire est composée d'autant de lignes qu'il y a de combinaisons possibles des variables d'entrée.

Le nombre des combinaisons possibles est égal à deux exposant le nombre de variables indépendantes. Avec deux variables, il y a 22 = 4 combinaisons, avec trois variables, il y a 23 = 8 combinaisons et avec quatre variables, il y a 24 = 16 combinaisons.

- Les combinaisons sont énumérées en comptant en binaire, ceci évite les oublis.

A chaque ligne de la table de vérité correspond un minterm. Si une variable est à l'état logique 0 à cette ligne elle est remplacée par sa négation alors que si elle vaut 1, elle est remplacée par son nom dans l'expression du minterm.

L'expression logique d'une fonction peut être obtenue à partir de la somme de tous les minterms où la fonction vaut 1. On obtient alors une expression de la forme "S.O.P."(somme de produits).

A chaque ligne d'une table de vérité correspond un maxterm. Un maxterm est une addition logique des variables booléennes. Dans une ligne, si une variable vaut 0, elle est remplacée par son nom dans l'expression du maxterm. Quand elle vaut 1, elle est remplacée par sa négation.

Une expression d'une fonction logique sous la forme "P.O.S."(produit de sommes) est obtenue en multipliant tous les maxterms pour lesquels la fonction vaut 0.

Dans cette étude, vous avez appris à établir la table de vérité d'une fonction logique et à écrire son expression sous deux formes :

  • "somme de produits" et "produits de sommes".

Une étude vous permet d'apprendre à simplifier les expressions des fonctions logiques à l'aide des règles et des théorèmes de l'algèbre booléenne.

Simplification par la méthode de Karnaugh :

La conception des circuits logiques exige des simplifications successives. L'objectif principal de cette simplification est de réduire le nombre de cellules logiques exigées pour réaliser une fonction particulière. Ceci permet de réduire les circuits et les coûts.

L'algèbre booléenne est un bon moyen d'y arriver. Mais il est difficile de simplifier de longues équations. De plus, l'algèbre booléenne laisse parfois échapper certaines possibilités de simplification.

Dans cette étude, vous allez vous familiariser avec la méthode de Karnaugh. La méthode de Karnaugh est une méthode semigraphique de simplification des circuits logiques combinatoires.

Vous apprendrez premièrement comment construire une table (ou tableau) de Karnaugh pour écrire une expression booléenne.

Ensuite, vous maîtriserez la méthode de simplification de circuits logiques à partir de la lecture des tables de Karnaugh.

Construction de la table de Karnaugh :

Comme la table de vérité, la table de Karnaugh est une méthode d'écriture de l'expression d'une fonction logique.

L'avantage principal de la table de Karnaugh par rapport à la table de vérité est qu'elle permet une meilleure visualisation des propriétés de l'adjacence logique.

Forme de la table de Karnaugh :

La table de Karnaugh est une grille composée d'un certain nombre de cases. Chaque case est réservée à un minterm de la fonction logique. Comme le nombre des minterms est égal à deux exposant le nombre des variables indépendantes, le nombre des cases dans une table de Karnaugh est lui aussi égal à deux exposant le nombre des variables de la fonction.

Par exemple, pour une fonction logique à deux variables indépendantes, le nombre de cases est égal à 22 = 4 cases. Pour trois variables, on aura 23 = 8 cases et pour quatre variables, 24 = 16 cases.

Les parties a, b et c de la figure suivante montrent respectivement la table de Karnaugh des fonctions à deux, trois et quatre variables indépendantes.

Table de Karnaugh de fonctions à deux, trois et quatre variables :













(a)
(b)
















(c)

Pour deux variables indépendantes, la table de Karnaugh est un carré à quatre cases tel que le présente la partie a de la figure ci-dessus.

Quand il s'agit de trois variables, la table de Karnaugh est un rectangle à huit cases comme le montre la partie b de la figure ci-dessus.

La partie c de la figure ci-dessus vous fait voir une table de Karnaugh à quatre variables, c'est donc un carré à seize cases.

Disposition des minterms dans une table de Karnaugh :

Un minterm est dit adjacent à un autre minterm si leurs expressions ne diffèrent que d'une seule variable qui se présente sous la forme directe dans l'un et dans la forme complémentée dans l'autre.

Par exemple, pour une fonction à deux variables a et b, les minterms et sont dit adjacents puisqu'ils ne diffèrent que de la variable b.

Cette variable est présente sous sa forme directe b dans m1 et sous sa forme complémentée  dans m0. La disposition des minterms dans une table de Karnaugh est telle que chacun des minterms est voisin de ses minterms adjacents.

Table de Karnaugh à deux variables d'entrée :

Avec deux variables a et b, on dispose de quatre cases dans la table de Karnaugh. Chaque case doit représenter une combinaison parmi toutes les combinaisons possibles avec deux variables. Le tableau de la figure suivante présente cette table de Karnaugh à deux variables.

Table de Karnaugh d'une fonction à deux variables d'entrée :

Dans cette table, vous remarquez que toutes les combinaisons avec deux variables ont été prévues. La table est, en effet, divisée dans le sens de la hauteur en deux colonnes. La première est pour ou "NON a" (a = 0) et la deuxième pour le a (a = 1).

Dans le sens de la largeur, elle est divisée en deux lignes, la première est réservée à ou "NON b" (b = 0) alors que la deuxième concerne le b (b = 1).

Ainsi, chaque case correspond à une combinaison. Dans la première case, on a , c'est le minterm m0. La case juste en bas représente la combinaison , soit le minterm m1. La troisième case, en haut à droite, représente la combinaison , soit le minterm m2. La dernière case est réservée aux conditions où a = 1 et b = 1, soit le minterm a · b, m3.

Chaque minterm de cette table de Karnaugh ne diffère du minterm voisin, à la verticale ou à l'horizontale, que d'une seule variable. Ce sont donc des minterms adjacents.

Table de Karnaugh à trois variables d'entrée :

Avec trois variables d'entrée a, b et c, il y a 23 = 8 cases dans une table de Karnaugh. Les minterms sont disposés selon le principe montré à la figure suivante.

Cette disposition fait en sorte que chaque minterm soit voisin géographiquement de ses minterms adjacents. On utilise le code réfléchi (code Gray).

Table de Karnaugh d'une fonction à trois variables d'entrée :

La première ligne de cette table correspond à . Cette ligne intercepte quatre colonnes où on a respectivement  ET ,  ET b, a ET b et a ET . C'est la même chose pour la deuxième ligne où on a c (c = 1).

Tous les minterms de cette table sont adjacents aux minterms contenus dans les cases qui leurs sont voisines à l'horizontale et à la verticale. Ainsi, vous voyez que :

m0 : est voisin du minterm m2 : à l'horizontale et de m1 : à la verticale, qui sont tous deux des termes adjacents à m0 ;

m1 : est voisin de m0 : à la verticale et de m3 : à l'horizontale, qui sont tous deux des termes adjacents à m1 ;

m2 : est voisin à l'horizontale de m0 : et de m6 : . A la verticale, il est voisin de m3 : qui lui est aussi adjacent ;

Les minterms voisins de m3 : sont m1 : et m7 : (a · b · c) à l'horizontale, et m2 : à la verticale. Ces trois termes lui sont adjacents ;

- Pour m6 : , les termes voisins sont m2 : et m4 : à l'horizontale et le minterm m7 : (a · b · c) à la verticale. Ces trois minterms lui sont adjacents ;

m7 : (a · b · c) est voisin de m3 : et m5 : à l'horizontale et de m6 : , à la verticale. Tous ces minterms sont adjacents à m7 ;

m4 : est adjacent à m6 : à l'horizontale et de m5 : , son voisin à la verticale ;

- Pour m5 : , les cases voisines contiennent m4 : à la verticale et m7 : (a · b · c) à l'horizontale. Ces deux minterms sont adjacents à m5.

Remarque : une représentation de la table (ou tableau) de Karnaugh consiste à représenter pour chaque variable son état "1" par un trait continu fort sur les cotés de la table.

Table de Karnaugh à quatre variables d'entrée :

Pour quatre variables d'entrée, a, b, c et d, une table de Karnaugh doit avoir 24 = 16 cases. Ce nombre correspond au nombre de combinaisons possibles avec quatre variables d'entrée. Le tableau de la figure suivante montre la disposition des minterms à l'intérieur d'une table de Karnaugh d'une fonction à quatre variables d'entrée.

Table de Karnaugh d'une fonction à quatre variables d'entrée :

Chaque variable est à l'état logique 1 pour huit combinaisons possibles et elle est à l'état logique 0 pour les huit autres combinaisons.

La propriété principale de cette disposition est que tous les minterms voisins sont adjacents logiquement.

Passage de la table de vérité à la table de Karnaugh :

Maintenant que vous avez appris à construire une table de Karnaugh et à assigner à chaque case le minterm correspondant, vous pouvez vous demander comment on peut lire l'expression d'une fonction logique à partir de la table de Karnaugh.

Vous savez qu'une fonction logique peut valoir 1 pour certains minterms et 0 pour d'autres.

La condition de la présence d'un minterm dans l'expression de la fonction est que la fonction vaut 1 dans la ligne de la table de vérité correspondante à ce minterm. Le même principe s'applique à la table de Karnaugh. Si une fonction vaut 1 à une case quelconque de la table de Karnaugh, le minterm associé à cette case apparaît dans l'expression de cette fonction.

Voyez maintenant, à l'aide d'exemples, comment on passe de la table de vérité à la table de Karnaugh pour écrire l'expression d'une fonction logique.

Exemple de fonction à deux variables d'entrée

La figure suivante montre la table de vérité d'une fonction logique F à deux variables d'entrée a et b. Cette fonction vaut 1 pour les minterms m0 et m1.

Table de vérité de la fonction F à deux variables d'entrée :

a
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