Circuit RC en série (1)

Dans cette étude, vous apprendrez les caractéristiques de l'impédance, des puissances et du facteur de puissance d'un circuit RC en série ainsi que les formules nécessaires pour leur calcul.

Vous verrez également quel est le déphasage entre la tension et le courant dans ce type de circuit.

Vous savez maintenant que l'impédance (Z) est la mesure de l'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif.

Dans un circuit RC en série, comme celui de la figure ci-dessous, l'impédance correspond effectivement à la combinaison de l'opposition de la résistance et du condensateur.

Il est nécessaire de tenir compte du retard de phase de 90° de la tension par rapport au courant.

C'est pourquoi la réactance capacitive du condensateur est représentée par un vecteur formant un angle de 90° avec le vecteur de la résistance.

Diagramme vectoriel de l'impédance d'un circuit RC en série :

L'impédance peut donc être obtenue par la somme de ces vecteurs .

En appliquant la règle de Pythagore (règle des carrés) au diagramme vectoriel de l'impédance d'un circuit RC, comme celui représenté à la figure 4.2, il est possible d'exprimer mathématiquement l'impédance par l'équation suivante : ;

Où :

Z : impédance en ohms
R : résistance en ohms
X_C : réactance capacitive en ohms

Problème :

1. Calculez l'impédance du circuit de la figure 4.1.

2. Tracez le diagramme vectoriel de l'impédance de ce circuit.

Solution

1. Calcul de l'impédance.

1^e étape

Calcul de la réactance capacitive : formule pour calculer la réactance capacitive : .

Où :

Et :

Donc :

2^e étape

Calcul de l'impédance : formule pour calculer l'impédance : .

Où : R = 100 Ohms et  XC = 48,2 Ohms

Donc :

L'impédance du circuit est égale à 111 Ohms.

2. Diagramme vectoriel :

Tout comme l'impédance d'un circuit RL en série, l'impédance d'un circuit RC correspond à la somme des vecteurs représentatifs des composants. Cependant, le vecteur qui représente la réactance capacitive (X_C), à cause du retard de phase de 90° de la tension par rapport au courant dans un condensateur, s'oriente plutôt vers le bas.

Lle vecteur qui représente l'impédance d'un circuit RC forme toujours avec le vecteur de la résistance un angle  situé en dessous de l'axe horizontal. Cet angle correspond effectivement au déphasage entre la tension appliquée et le courant total du circuit. Ce déphasage peut être calculé à l'aide de la formule trigonométrique suivante : .

Où :

 : angle de déphasage du circuit en degrés (°)
tan^-1 : fonction trigonométrique de l'arc de la tangente
R : résistance du circuit en ohms
X_C : réactance capacitive du circuit en ohms

Comme dans tous les circuits en série, le courant du circuit RC en série a la même valeur que le courant de ses composants, en l'occurrence R et C. La valeur de ce courant est déterminée par le rapport entre la tension appliquée et l'impédance du circuit : .

Où :

I : courant du circuit en ampères (A)
U : tension appliquée au circuit en volts (V)
Z : impédance du circuit en ohms

Lors de l'analyse de n'importe quel circuit en série, le courant est toujours utilisé comme référence puisque, dans ce genre de circuit, le courant a partout la même valeur.

Si l'on applique la loi d'Ohm, la valeur de la chute de tension aux bornes de la résistance (U_R) peut être déterminée par le produit du courant de ce circuit et de la résistance :

Où :

U_R : tension aux bornes de la résistance en volts (V)
I : courant du circuit en ampères (A)
R : résistance du circuit en ohms

Étant donné qu'il n'y a pas de déphasage entre la tension et le courant dans une résistance, la forme de leurs ondes et leur vecteur représentatif se présentent comme ce qui apparaît à la figure suivante.

Relation entre la tension et le courant dans une résistance :

Cependant, dans un circuit RC en série, la valeur de la chute de tension aux bornes du condensateur (U_C) est déterminée par le produit de la réactance capacitive du condensateur et du courant du circuit. Cet énoncé se traduit mathématiquement par la formule suivante :

Où :

U_C : tension aux bornes du condensateur en volts (V)
X_C : réactance capacitive en ohms
I : courant du circuit en ampères (A)

Toutefois, à cause de la réactance capacitive, la tension aux bornes du condensateur est en retard de phase de 90° par rapport au courant. Cette relation est représentée à la figure suivante.

Relation entre la tension et le courant dans un condensateur :

Puisque le courant de la résistance est le même que celui du condensateur, il est vrai de dire que la tension aux bornes du condensateur (U_C) est en retard de phase de 90° par rapport à la tension aux bornes de la résistance (U_R). De plus, la somme vectorielle de ces deux tensions doit être égale à la tension appliquée (U) au circuit, comme le montre l'équation suivante :

Où :

U : tension appliquée au circuit en volts (V)
U_C : tension aux bornes du condensateur en volts (V)
U_R : tension aux bornes de la résistance en volts (V)

La figure suivante vous présente la relation de phase entre ces tensions et le courant d'un circuit RC en série :

De façon générale, pour un circuit RC en série, la tension appliquée (U) au circuit est toujours en retard de phase par rapport au courant du circuit. Ce déphasage correspond à un angle  compris entre 0 et 90°. Cet angle peut être déterminé par la formule trigonométrique suivante : .

Où :

 : angle de déphasage du circuit en degrés (°)
tan^-1 : fonction trigonométrique de l'arc de la tangente
U_C : tension aux bornes du condensateur en volts (V)
U_R : tension aux bornes de la résistance en volts (V)

Il n'est pas difficile de voir que cette formule est issue de la formule :

Pour la même valeur de courant, la tension aux bornes du condensateur (UC) et celle aux bornes de la résistance (U_R) sont respectivement proportionnelles à la réactance capacitive (X_C) et à la résistance (R).

Application des formules se rapportant à la relation de phase entre les tensions et le courant dans un circuit RC en série :
Un circuit RC en série  présente une impédance de 111 Ohms.

a) Calculez le courant total du circuit.
b) Calculez la chute de tension aux bornes de chacun des composants R et C.
c) Tracez le diagramme de Fresnel des tensions et du courant du circuit.
d) Calculez l'angle de déphasage entre la tension appliquée et le courant du circuit.

Solution :

a) Calcul du courant total :

Le courant total du circuit est égal à 2 A.

b) Calcul des tensions

- Calcul de la chute de tension aux bornes de la résistance (U_R) :

Formule pour calculer U_R :

Où : R = 100 Ohms et I = 2 A

Donc :

- Calcul de la chute de tension aux bornes du condensateur (U_C) :

Formule pour calculer U_C :

Où : X_C = 48,2 Ohms (calculée précédemment) et I = 2 A

Donc :

La chute de tension aux bornes de la résistance est égale à 200 V, alors que la chute de tension aux bornes du condensateur est égale à 96,4 V.

Diagramme de Fresnel des tensions et du courant du circuit de la figure 4.1.

c) Sachant que la tension aux bornes de la résistance est en phase avec le courant et la tension aux bornes du condensateur en retard de phase de 90° par rapport au courant, le diagramme de Fresnel du circuit se présente comme celui de la figure 4.7.

d) Calcul de l'angle de déphasage :

Formule pour calculer l'angle de déphasage à partir des tensions :

Où : U_C = 96,4 V et U_R = 200 V

Donc :

Ou :

Formule pour calculer l'angle de déphasage à partir de la réactance capacitive et de la résistance :

Où : X_C = 48,2 Ohms (calculée précédemment) et R = 100 Ohms

Donc :

Que l'une ou l'autre de ces formules soit appliquée, le calcul de l'angle de déphasage donne 25,7°. Ainsi, la tension appliquée au circuit est en retard de phase de 25,7° par rapport au courant du circuit.