Nombre dérivé d'une fonction en un point
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1. Vocabulaire
Soit f une fonction
définie sur un intervalle I ;
est un réel de
l’intervalle I.
Pour tout réel tel que soit dans I, le quotient est appelé taux d’accroissement (ou taux de variation) entre a et a + h.
Pour tout réel tel que soit dans I, le quotient est appelé taux d’accroissement (ou taux de variation) entre a et a + h.
Exemple
Soit . Le taux de variation de f entre 1 et pour est :
.
Se poser la question "que
devient le quotient t(h) lorsque h tend
vers 0", c’est rechercher l’éventuelle
limite de t(h) lorsque h tend vers 0 et
cela s’écrit .
Exemple
Intuitivement, lorsque h tend vers 0, 2+h se rapproche de 2.
Le taux t(h) précédent tend donc vers 2.
On écrit .
2. Définition du nombre dérivé
Soit une fonction f définie sur I et
un réel de I
.
Dire que f est dérivable en signifie que le quotient tend vers un réel lorsque h tend vers 0, ce qui s’écrit avec réel.
Dire que f est dérivable en signifie que le quotient tend vers un réel lorsque h tend vers 0, ce qui s’écrit avec réel.
Ce réel noté s’appelle le nombre dérivé de f en .
Revenons à notre exemple :
Étant donné que le taux d’accroissement entre 1 et 1+h tend vers 2, alors la fonction est dérivable en et le nombre dérivé de f en 1 est 2.
On note .
3. Exemples de recherche de nombre dérivé
► A) Démontrer que la fonction
est dérivable en et déterminer son
nombre dérivé.
Ceci s’effectue en 2 étapes :
1) On calcule de taux d’accroissement t(h) entre -2 et -2+h pour h non nul.
2) On fait tendre le réel h vers 0.
1)
Évaluons séparément chaque quantité afin d’alléger le calcul du quotient :
Ainsi,
2)
Comme la limite est un nombre réel, alors f est dérivable en et
► B) La fonction f définie sur par est-elle dérivable en ?
De la même façon que ci-dessus, évaluons le taux d’accroissement entre 1 et 1+h avec h réel non nul :
et
donc
qui est un réel donc oui la fonction f est dérivable en et de plus,
.
Ceci s’effectue en 2 étapes :
1) On calcule de taux d’accroissement t(h) entre -2 et -2+h pour h non nul.
2) On fait tendre le réel h vers 0.
1)
Évaluons séparément chaque quantité afin d’alléger le calcul du quotient :
Ainsi,
2)
Comme la limite est un nombre réel, alors f est dérivable en et
► B) La fonction f définie sur par est-elle dérivable en ?
De la même façon que ci-dessus, évaluons le taux d’accroissement entre 1 et 1+h avec h réel non nul :
et
donc
qui est un réel donc oui la fonction f est dérivable en et de plus,
.
Remarque :
En posant , le taux d’accroissement de f entre et x s’écrit .
Ainsi, dire que f est dérivable en signifie que réel et
En posant , le taux d’accroissement de f entre et x s’écrit .
Ainsi, dire que f est dérivable en signifie que réel et
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