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Volume du cube et du pavé droit

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Objectifs

Le cube et le pavé droit sont des solides très présents parmi les objets de la vie courante. Les dés ou certaines boites sont des cubes. Les boites à chaussures, les briques, les livres, les pièces d’une maison sont souvent des pavés droits.
Qu’est-ce que le volume d’un solide ? Comment calcule-t-on le volume d’un cube ou d'un pavé droit ?

1. Volume d'un solide

a. Définition

Le volume d’un solide correspond à l’espace qu’il occupe, c'est-à-dire l'espace à l'intérieur du solide.

Le mètre cube (m³) est l’unité de mesure du volume. Les multiples du m³ sont le décamètre cube (dam³), l’hectomètre cube (hm³) et le kilomètre cube (km³). Les sous-multiples du m³ sont le décimètre cube (dm³), le centimètre cube (cm³) et le millimètre cube (mm³).

Exemple : 1 m³ correspond au volume d’un cube dont l’arête mesure 1 m.

b. Conversion des volumes

Pour effectuer les conversions de volumes, on peut utiliser un tableau de conversion ou s’en faire une représentation mentale.

Tableau de conversion des volumes :
Chaque unité de volume contient trois colonnes et chaque colonne ne contient qu’un seul chiffre.

km³	hm³			dam³			m³			dm³		cm³			mm³
					1	8	7	0	0
											0,	2	6	7	3
		1	4	6	7	8	0	0	0

Exemples :
18,7 dam³= 18 700 m³.
Pour convertir 18,7 dam³ en m³, on place le chiffre des unités (le 8) dans la colonne correspondant à l’unité de volume de départ (le dam³), puis on décale la virgule et on ajoute des zéros pour convertir dans l’unité de volume d’arrivée (le m³).
En procédant de la même façon, on a :
267,3 cm³ = 0,2673 dm³ ;
14,678 hm³ = 14 678 000 m³.

c. Autres unités de volumes

Pour mesurer les volumes, on utilise aussi les mesures de contenance dont l'unité de base est le litre (noté L) ainsi que ses multiples et sous-multiples :
le kilolitre (kL), l'hectolitre (hL), le décalitre (daL), le décilitre (dL), le centilitre (cL) et le millilitre (mL).

On obtient la correspondance suivante entre les volumes et les contenances :

1 L = 1 dm³ ou encore 1 m³ = 1 000 L

m³		dm³			cm³
	kL	hL	daL	L	dL	cL	mL
	1,	4	0	0

Exemple : 1,4 m³ = 1 400 dm³ = 1 400 L.

2. Volume du pavé droit

Démonstration :
On veut donner le volume total de ce pavé droit composé de petits cubes de 1 cm³:

La première « couche avant » contient 8 cubes (4 × 2). Il y a 3 « couches » de cubes.

Donc au total le pavé droit contient 24 cubes de 1 cm³. Son volume est de 24 cm³.

Le volume V d’un pavé droit de longueur L, de largeur l et de hauteur h est :

V = L × l × h.

Exemple :
Calculer le volume d’un pavé droit de 2 cm de hauteur, de 3 cm de largeur et de 4 cm de longueur.
D’après la formule, on a :
V = 4 × 3 × 2 = 24 cm³.

3. Volume du cube

On calcule le volume V d'un cube d'arête a en utilisant la formule suivante :

Volume du cube = arête × arête × arête
V = a³

Exemple : Prenons le cube suivant :

Le cube ci dessus ayant des arêtes de 5 cm, son volume est égal à 5³ = 125 cm³.

Je retiens

Le volume d'un solide correspond à l'espace qu'il occupe.

L'unité de base pour mesurer les volumes est le m³. On peut également utiliser les mesures de contenance pour mesurer des volumes. On établit alors la correspondance suivante : 1 m³ = 1 000 L.

Pour calculer le volume d'un pavé droit, on applique la formule suivante : V = L × l × h (avec L la longueur, l la largeur et h la hauteur du pavé droit).

Pour calculer le volume d'un cube, on applique la formule suivante : V = a³ (avec a l'arête du cube).