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Propriétés de conservation de la symétrie centrale

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Objectifs
Par la symétrie centrale, certaines propriétés des figures géométriques sont conservées.
Quelles propriétés la symétrie centrale conserve-t-elle ?
1. Conservation des longueurs
La symétrie centrale conserve les longueurs.

Les dimensions du symétrique par rapport à un point d’une figure sont identiques à celles de la figure initiale.
Conséquence : L'image d'un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur.

Le polygone A’B’C’D’E’F’ est le symétrique de ABCDEF par rapport à O et a les même dimensions que ce dernier.
2. Conservation des périmètres et des aires
D’après la propriété de conservation des longueurs, on déduit la propriété suivante :
Le symétrique d’une figure par rapport à un point est une figure de même aire et de même périmètre.

La figure et son symétrique par rapport à O ont les mêmes dimensions donc le même périmètre et la même aire.
3. Conservation de l'alignement
La symétrie centrale conserve l’alignement des points.
Conséquence : Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite.

Soit (CD) une droite et O un point n’appartenant pas à (CD). Le point E appartient à la droite (CD). Soit C', D' et E' les symétriques respectifs des points C, D et E par rapport au point O.

E' appartient à la droite (C'D') et (C’D’) est parallèle à (CD).
4. Conservation du parallélisme
La symétrie centrale conserve le parallélisme.
Soit (d) et (t) deux droites parallèles. Les symétriques (d') et (t') de ces droites par rapport à O sont aussi parallèles.

5. Conservation des angles
L’image d’un angle par une symétrie centrale est un angle de même mesure.
On dit que la symétrie centrale conserve les angles.
Soit ABC un triangle et A’B’C’ son symétrique par rapport à O. Les angles  et  sont égaux.

Conséquence : La symétrie centrale conserve la perpendicularité de deux droites (angles de 90°).
Les symétriques par rapport à un point de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.

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