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Figures géométriques introduction (1)

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On peut définir une figure géométrique comme un espace limité par des segments de droite ou par une ligne continue, telle une ligne courbe.

La figure suivante montre deux figures géométriques.

Les figures géométriques possèdent des caractéristiques et des propriétés particulières.

Pour résoudre des problèmes de mécanique qui font appel à la géométrie, vous devez connaître ces propriétés.

Dans cette étude, vous étudierez les figures géométriques de base et leurs propriétés.

1. Les lignes

Si vous possédiez une loupe assez puissante, vous verriez qu'une ligne se compose d'une suite de points très rapprochés les uns des autres.

On distingue plusieurs types de lignes, portant des noms spécifiques selon leur position ou leur orientation dans l'espace, ou encore selon leur fonction.

Les principales lignes utilisées en géométrie apparaissent à la figure suivante.

Principales lignes utilisées en géométrie :

Noms	Descriptions	Exemples
Parallèles	Lignes dont les points ne se rencontrent jamais, même si on les prolonge à l'infini.
Sécantes ou concourantes	Lignes dont les points se rencontrent dans l'espace.
Hauteur	Ligne s'élevant de la base d'un angle et le divisant en deux parties égales.
Bissectrice	Ligne partant du sommet d'un angle et le divisant en deux parties égales.
Médiane	Ligne menée du sommet d'un triangle au centre du côté qui lui fait face (coté opposé).
Médiatrice	Ligne s'élevant perpendiculairement (à 90°) à un point situé au milieu du côté d'un triangle.
Diagonale	Ligne joignant deux sommets non consécutifs d'un quadrilatère.

On appelle sommet le point de rencontre de deux lignes d'une figure géométrique.

Notes: deux lignes se rapportent spécifiquement à la géométrie dans l'espace :

- l'arête, qui constitue une ligne d'intersection entre deux plans ;

- l'apothème, qui est une ligne joignant le sommet d'une pyramide ou d'un cône à un point de sa base en formant un angle de 90° (figure suivante).

Arête et apothème :

2. Le périmètre

Le périmètre représente la somme de la longueur des segments de droite qui délimitent un espace.

Plus simplement, on peut dire que le périmètre constitue la longueur du contour d'une surface.

Un périmètre peut prendre trois formes distinctes :

convexe,
concave,
courbe.

Vous pouvez voir ces trois formes de périmètres à la figure suivante.

Périmètres :



Concave	Convexe	Courbe

3. Les angles

Le terme angle désigne l'ouverture variable entre deux segments de droites concourantes ou sécantes.

On peut diviser les angles en deux catégories :

- les angles aigus, dont l'ouverture se situe entre 0° et 90° ;

- les angles obtus, dont l'ouverture varie entre 90° et 180°.

Angles aigus et obtus :

Certains angles sont remarquables. C'est le cas des angles de 0°, 90° (angle droit), 180° (angle plat), 270° et 360°, qui apparaissent à la figure suivante.

Angles remarquables :

Propriétés des angles :

Les angles possèdent des propriétés particulières.

Ainsi, lorsque deux droites se coupent, la somme des angles adjacents, c'est-à-dire des angles possédant un côté commun, égale 180°. On dit alors qu'il s'agit d'angles supplémentaires (figure suivante).

Angles supplémentaires :

D'autre part, deux droites qui se coupent forment des angles opposés par le sommet, dont la valeur est égale (figure suivante).

Angles opposés par le sommet :

Enfin, un segment de droite qui coupe deux segments de droites parallèles forme avec ceux-ci des angles alternes-internes égaux (figure suivante).

Angles alternes-internes :

4. Les triangles

La figure géométrique la plus simple est limitée par trois segments de droite :

il s'agit du triangle (figure suivante).

Une des propriétés fondamentales des triangles est que la somme de leurs angles intérieurs égale 180°.

Somme des angles intérieurs d'un triangle :

Autrepropriété l'angle extérieur d'un des sommets d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

Valeur de l'angle extérieur du sommet d'un triangle :

Ces propriétés s'appliquent à tous les triangles.

Les triangles particuliers :

Comme vous vous en souvenez sans doute, certains triangles portent des noms spécifiques en fonction de leurs caractéristiques particulières.

La figure suivante dresse la liste de ces caractéristiques.

Caractéristiques des triangles :

Noms	Descriptions	Exemples
Quelconque	Côtés et angles pas égaux
Équilatérale	3 angles et 3 côtés égaux
Rectangle	Un angle de 90°
Isocèle	2 côtés égaux et 2 angles égaux

Le théorème de Pythagore :

Les triangles rectangles possèdent des propriétés particulières.

Une de ces propriétés est connue sous l'appellation de théorème de Pythagore (figure suivante).

Ce théorème s'énonce comme suit :

La somme des carrés des côtés d'un triangle rectangle est égale au carré de son hypoténuse.

Mathématiquement, cet énoncé s'exprime ainsi :

Voyons comment appliquer le théorème de Pythagore à l'aide d'un exemple.

Problème

Calculez la valeur de l'hypoténuse du triangle rectangle de la figure suivante.

Hypoténuse d'un triangle rectangle :

1. Identification des données

Sur la figure 3.19, on constate que les côtés du triangle rectangle mesurent respectivement 3 cm et 4 cm.

2. Calcul de la valeur de l'hypoténuse

Pour trouver la valeur de l'hypoténuse, il suffit d'appliquer la formule du théorème de Pythagore :

c² = a² + b²

c² = 3² + 4²

c² = 9 cm² + 16 cm²

c² =

c² = 5 cm

L'hypoténuse est égale à 5 cm.

5. Quadrilatères

La figure géométrique qui suit en complexité le triangle est le quadrilatère ou polygone à quatre côtés.

Les quadrilatères se divisent en deux grandes classes : les parallélogrammes et les trapèzes (figure suivante).

Quadrilatères :

Parrallélogramme

Trapèze

Un trapèze est un quadrilatère dont deux des côtés opposés sont parallèles (figure suivante).

Il est possible de diviser les trapèzes en deux catégories :

Le trapèze isocèle lorsque les deux côtés qui ne sont pas parallèles sont égaux.
Le trapèze rectangle lorsqu'un des côtés non parallèle du trapèze est perpendiculaire aux deux bases parallèles.

Trapèzes :

Trapèze isocèle

BC parallèle à AD

Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles (figure suivante).

Parallélogramme :

La diagonale divise toujours un parallélogramme en deux triangles égaux et opposés (figure suivante).

Division du parallélogramme à l'aide d'une diagonale :

On distingue trois parallélogrammes particuliers, apparaissant à la figure suivante :

le rectangle, qui possède quatre angles de 90° ;
le losange, dont les côtés sont égaux, mais dont les sommets forment des angles différents de 90° ;
le carré, dont les côtés sont égaux et qui possède quatre angles de 90°.

Parallélogrammes particuliers :