Impédance circuit RLC en série (1)

L'impédance, vous le savez maintenant, est la mesure de l'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. L'impédance d'un circuit composé d'une résistance, d'une bobine et d'un condensateur est effectivement la combinaison de :

• la résistance,
• la réactance inductive,
• de la réactance capacitive.

Dans un circuit RLC en série, comme celui de la figure ci-dessous, le diagramme vectoriel de l'impédance peut être représenté comme ce qui apparaît en dessous.

Circuit RLC en série :

Diagramme vectoriel de l'impédance d'un circuit RLC en série où X_L > X_{C :}

Ce diagramme vectoriel montre d'une part les trois vecteurs R, X_L et X_C représentant respectivement la résistance, la réactance inductive et la réactance capacitive du circuit de la figure 5.1.

Pour tenir compte du déphasage de leur tension par rapport au courant du circuit, les vecteurs X_L et X_C sont tracés de façon opposée l'un à l'autre et forment chacun avec le vecteur R un angle de 90°. D'autre part, ce graphique fait voir que le vecteur de l'impédance du circuit (Z) est le résultat de la somme des vecteurs R, X_L et X_C.

Étant donné que les deux vecteurs X_L et X_C sont opposés l'un à l'autre, la différence entre ces deux vecteurs est obtenue par une simple soustraction, soit X_L- X_C. Toutefois, le vecteur représentant la différence entre X_L et X_C forme toujours avec le vecteur R un angle de 90°. Ainsi, pour calculer l'impédance totale (Z) du circuit, il faut recourir à la règle de Pythagore et utiliser la formule suivante :  

Où :
Z : impédance du circuit en ohms
R : résistance du circuit en ohms
X_L : réactance inductive du circuit en ohms
X_C : réactance capacitive du circuit en ohms

Solution :

L'impédance d'un circuit RLC en série peut être calculée par la formule :

Où : R = 1 000 Ohms, X_L = 400 Ohms  et X_C = 150 Ohms.

Donc :

L'impédance du circuit est égale à 1 030,77 Ohms.

L'exemple que vous venez de voir concerne un circuit RLC en série dont la réactance inductive est plus grande (X_L = 400 Ohms) que la réactance capacitive (X_C = 150 Ohms).

Lorsque dans un circuit X_L > X_C, l'impédance totale du circuit est surtout inductive. En effet, comme vous pouvez le constater à la figure 5.2, le vecteur représentant l'impédance du circuit ressemble à celui retrouvé dans un circuit inductif RL en série : tous les deux, situés au-dessus de l'axe horizontal, forment un angle  avec le vecteur R.

Par contre, si la réactance inductive (X_L) est plus petite que la réactance capacitive (X_C), X_L < X_C, l'impédance du circuit sera surtout capacitive. De fait, le calcul de la différence entre ces deux valeurs montre que la réactance capacitive est plus grande que la réactance inductive. Dans ce cas, le diagramme vectoriel de l'impédance ressemble à ce qui est représenté ci-dessous.

De façon générale, l'impédance d'un circuit en série peut être calculée à l'aide de la formule suivante :

Peu importe que la réactance inductive soit plus grande ou plus petite que la réactance capacitive (X_L > X_C ou X_L < X_C), cette formule peut toujours être appliquée, puisque la différence entre les valeurs X_L et X_C obtenue par soustraction et élevée au carré est toujours positive.
Par ailleurs, si l'un des composants (R, L ou C) est absent du circuit, il suffit de remplacer R, X_L ou X_C dans la formule générale par une valeur nulle.

Problème : 
1. Sachant que les composants sont raccordés en série, calculez l'impédance totale pour chacun des circuits suivants :

a) R = 10 Ohms, X_L = 30 Ohms et X_C = 25 Ohms.
b) R = 10 Ohms, X_L = 25 Ohms et X_C = 30 Ohms.
c) R = 10 Ohms et X_L = 3 Ohms.
d) R = 10 Ohms, X_L = 15 Ohms et X_C = 15 Ohms.

2. Tracez pour chacun de ces circuits le diagramme vectoriel de l'impédance.

Solutions :

1. Calcul de l'impédance totale :

a) Formule :

Où : R = 10 Ohms, X_L = 30 Ohms et X_C = 25 Ohms

Donc :

L'impédance de ce circuit est égale à 11,2 Ohms et est inductive, car X_L > X_C.

b) Formule :

Où : R = 10 Ohms, X_L = 25 Ohms et X_C = 30 Ohms

Donc :

L'impédance de ce circuit est égale à 11,2 Ohms et est capacitive, car X_L < X_C.

c) Formule :

Où : R = 10 Ohms, X_L = 3 Ohms et X_C = 0 Ohms

Donc :

L'impédance de ce circuit est égale à 10,44 Ohms et est inductive, car X_L > X_C (X_C = 0).

d) Formule :

Où : R = 10 Ohms, X_L = 15 Ohms et X_C = 15 Ohms

Donc :

L'impédance de ce circuit est égale à 10 Ohms et est résistive, car X_L = X_C, donc ces valeurs s'annulent. (Ce cas particulier sera davantage étudié plus loin dans cette étude).

2. Diagramme vectoriel

Pour résumer, on peut dire que selon le rapport de grandeur entre la réactance inductive (X_L) et la réactance capacitive (X_C) du circuit, l'impédance d'un circuit RLC en série peut se comporter:

1. soit comme l'impédance d'un circuit inductif (RL),
2. soit comme l'impédance d'un circuit capacitif (RC).

Grâce à la loi d'Ohm, le courant d'un circuit RLC en série, comme celui de la figure ci-dessous, peut être calculé par la formule suivante :
Où :

I : courant du circuit en ampères (A)
U : tension appliquée au circuit en volts (V)
Z : impédance du circuit en ohms

Étant donné que dans un circuit en série le courant est partout le même, la chute de tension aux bornes de chacun des composants R, L et C peut être respectivement calculée par les formules suivantes :

Où :

U_R : tension aux bornes de la résistance en volts (V)
U_L : tension aux bornes de la bobine en volts (V)
U_C : tension aux bornes du condensateur en volts (V)
R : résistance en ohms
X_L : réactance inductive en ohms
X_C : réactance capacitive en ohms
I : courant du circuit en ampères (A)

La relation de phase entre ces tensions et le courant du circuit peut être représentée par un diagramme de Fresnel.

Relation de phase entre les tensions et le courant d'un circuit RLC en série où U_L > U_C :

De façon logique, la somme de toutes les chutes de tension du circuit doit égaler la tension appliquée au circuit. Toutefois, à cause du déphasage entre les chutes de tension, il est impossible d'obtenir leur somme par une simple addition. Il faut alors recourir à la méthode d'addition des vecteurs et à la règle de Pythagore.

Partant du fait que la tension appliquée U doit correspondre à la somme vectorielle de U_R, U_L et U_C et que les deux vecteurs U_L et U_C (représentant respectivement la chute de tension aux bornes de la bobine et celle aux bornes du condensateur) sont opposés l'un à l'autre et leur différence obtenue par U_L - U_C, la somme des vecteurs U_R, U_L et U_C est obtenue par l'addition du vecteur U_R et du vecteur représentant la différence entre U_L et U_C.

Grâce à la règle de Pythagore, la relation entre les tensions d'un circuit RLC en série peut être exprimée mathématiquement par l'équation suivante : U² = U_R² + (U_L - U_C)²

Ainsi :

Où :

U : tension appliquée au circuit en volts (V)
U_R : tension de la résistance en volts (V)
U_L : tension de la bobine en volts (V)
U_C : tension du condensateur en volts (V)

Problème :

1. Pour le circuit de la figure étudiée plus haut, dont la tension appliquée (U) est égale à 120 V, calculez :

a) le courant du circuit ;
b) la chute de tension aux bornes de la résistance ;
c) la chute de tension aux bornes de la bobine ;
d) la chute de tension aux bornes du condensateur.

2. Tracez le diagramme de Fresnel des tensions et du courant de ce circuit.

Solutions :

1.

a) Calcul du courant du circuit :

Formule :  où : U = 120 V et Z = 1 030,77 Ohms (calculée précédemment)

Donc :

Le courant du circuit est égal à 0,116 A.

b) Calcul de la chute de tension aux bornes de la résistance (U_R) :

Formule : où I = 0,116 A et R = 1 000 Ohms

Donc :

La chute de tension aux bornes de la résistance est égale à 116 V.

c) Calcul de la chute de tension aux bornes de la bobine (U_L) :

Formule :  où I = 0,116 A et X_L = 400 Ohms

Donc :

La chute de tension aux bornes de la bobine est égale à 46,4 V.

d) Calcul de la chute de tension aux bornes du condensateur (U_C) :

Formule :  où : I = 0,116 A et X_C = 150 Ohms

Donc :

La chute de tension aux bornes du condensateur est égale à 17,4 V.

2. Diagramme de Fresnel

Vous savez maintenant qu'un circuit RLC peut être surtout inductif (X_L > X_C) ou surtout capacitif (X_L < X_C). Comme l'intensité du courant est partout la même, la chute de tension aux bornes de chacun des composants est donc directement liée à la résistance, à la réactance inductive et à la réactance capacitive.

De plus, il est important de dire que la tension aux bornes de la bobine est plus grande que celle aux bornes du condensateur (U_L > U_C) lorsque la réactance inductive est plus grande que la réactance capacitive (X_L > X_C).

Le contraire est également vrai, c'est-à-dire que U_L < U_C lorsque X_L < X_C. La figure suivante montre cette différence de rapport en présentant deux diagrammes de Fresnel.

Diagrammes de Fresnel des tensions et du courant de deux circuits RLC en série :

La partie a de la figure fait voir le diagramme de Fresnel des tensions et du courant d'un circuit RLC en série où U_L est plus grand que U_C. Dans ce diagramme, on peut voir que la tension appliquée au circuit, représentée par le vecteur U, est égale à la somme vectorielle de toutes les chutes de tension du circuit.

On remarque également que la tension appliquée au circuit est en avance de phase par rapport au courant du circuit. Cette avance correspond à un angle , qui peut être déterminé par la formule suivante :

Où :

 : angle de déphasage en degrés (°)
tan^-1 : fonction trigonométrique de l'arc de la tangente
U_L : tension aux bornes de la bobine en volts (V)
U_C : tension aux bornes du condensateur en volts (V)
U_R : tension aux bornes de la résistance en volts (V)

D'après ce qui précède, on peut dire que lorsque X_L > X_C, le circuit RLC en série se comporte comme un circuit inductif RL en série. Au contraire, lorsque X_L < X_C, le circuit RLC en série se comporte comme un circuit capacitif RC en série.

C'est ce que représente la partie b de la figure 5.7. Le diagramme de cette partie montre que la tension aux bornes du condensateur est plus grande que celle aux bornes de la bobine et que la tension appliquée est en retard de phase par rapport au courant du circuit. Ce retard de phase correspond à un angle , qui peut être déterminé par la formule suivante :

Par ailleurs, peu importe le rapport entre X_L et X_C, la tension totale du circuit, soit la tension appliquée, peut toujours être calculée en appliquant la formule suivante :

Ainsi, que U_L soit plus grand ou plus petit que U_C, cette formule est toujours valide, car la différence entre ces deux valeurs obtenue par soustraction et élevée au carré est toujours positive.

Problème :

Le schéma de la figure suivante représente un circuit électrique qui regroupe l'ensemble des équipements d'une petite usine. Ce circuit peut être interprété tout simplement comme un circuit RLC en série.

1. Calculez l'impédance du circuit.
2. Calculez le courant total du circuit.
3. Calculez la tension aux bornes des moteurs.
4. Calculez la tension aux bornes de la batterie de condensateurs.
5. Tracez le diagramme de Fresnel des tensions et du courant du circuit.
6. Déterminez le déphasage du circuit.
7. Calculez la tension que doit fournir le générateur au circuit.

Solutions :

1. Calcul de l'impédance :

Formule :

Où : R = 100 Ohms et X_L = 100 Ohms et X_C = 300 Ohms

Donc :

L'impédance du circuit est égale à 223,6 Ohms.

2. Calcul du courant total :

Sachant que la chute de tension aux bornes du système d'éclairage est égale à 85 V, alors le courant de ce dernier peut être calculé par la formule suivante :  
Où : U_R = 85 V et R = 100 Ohms
Donc :

Comme le courant est partout le même dans un circuit en série, le courant du système d'éclairage est le même courant que celui du circuit.

Le courant total du circuit est égal à 0,85 A.

3. Calcul de la tension aux bornes des moteurs (U_L) :

Formule :  où : X_L = 100 Ohms et I = 0,85 A

Donc :

La tension aux bornes des moteurs est égale à 85 V.

4. Calcul de la tension aux bornes de la batterie de condensateurs (U_C) :

Formule :  où : X_C = 300 Ohms et I = 0,85 A

Donc :

La tension aux bornes des condensateurs est égale à 255 V.

5. Diagramme de Fresnel

6. Détermination de l'angle de déphasage :

Formule :

Où : U_C = 255 V et U_L = 85 V et U_R = 85 V

Donc :

Comme X_L < X_C, alors U_L < U_C. Par conséquent, l'angle de déphasage se situe en dessous de l'axe horizontal.

Cela implique que la tension appliquée est en retard de phase par rapport au courant total du circuit et ce dernier se comporte comme un circuit capacitif RC.

L'angle de déphasage est égal à 63,43°.

7. Calcul de la tension appliquée au circuit :

Formule :

Où : U_R = 85 V, U_L = 85 V et U_C = 255 V

Donc :

Le générateur doit fournir au circuit une tension de 190 V.