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Cours de mathématiques 2de - Moyenne


Note par nos Maxinautes :  
Objectifs :
La moyenne d’une série statistique est un élément important qui permet de caractériser les séries statistiques. On peut, par exemple, grâce à elle comparer des séries statistiques entre elles. Dans cette fiche nous répondrons aux questions suivantes :
- comment calculer la moyenne d’une série statistique à partir des effectifs ou des fréquences ?
- quelles sont les propriétés de la moyenne ?
1. Moyenne d'une série statistique
Moyenne d'une série statistique

La moyenne d’une série statistique est égale au quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série par l’effectif total.
Elle est souvent notée .
a. Premier cas : La série statistique est donnée sous la forme d'une suite de nombres
Exemple : A un contrôle de mathématiques, les 10 notes suivantes ont été obtenues :
9 ; 12 ; 8 ; 7 ; 17 ; 12 ; 5 ; 10 ; 20 ; 15.



A ce contrôle, la moyenne de la classe est donc de 11,5.


b. Deuxième cas : La série statistique est donnée sous forme d'un tableau des effectifs. On parle alors de moyenne pondérée.
valeur v1 v2 ... vp
effectif n1 n2 ... np

La moyenne de cette série statistique s’obtient en faisant le calcul suivant :



Exemple : Le tableau suivant donne le relevé des âges des élèves d’une classe :

âge (en années) 14 15 16 17
effectif 1 12 15 2



L’âge moyen des élèves de cette classe est de 15,6 ans.


c. Troisième cas : La série statistique est définie par des valeurs regroupées en classe
La moyenne se calcule en choisissant comme valeurs du caractère les centres des classes et comme effectifs, les effectifs des classes.

Exemple : Le tableau suivant donne la distance entre le domicile et le lycée pour les élèves d’une classe de seconde.

distance (km) [0 ; 2[ [2 ; 6[ [6 ; 12[
nombre d'élèves 8 16 10

On commence par calculer le centre des classes.

distance (km) [0 ; 2[ [2 ; 6[ [6 ; 12[
centre des classes
nombre d'élèves 8 16 10

(arrondi au centième)

Les élèves de cette classe parcourent donc en moyenne 4,77km pour venir au lycée.


d. Quatrième cas : Calcul de la moyenne à partir des fréquences
La série statistique est donnée avec la fréquence de chacune de ses valeurs :

valeur v1 v2 ... vp
fréquence f1 f2 ... fp

La moyenne s'obtient en faisant le calcul :



Exemple : Le tableau ci-dessous rassemble les résultats à un contrôle et les fréquences de chacune de ces notes.

note 0 8 11 12 14 16 17.5
fréquence 0,05 0,15 0,15 0,3 0,15 0,1 0,1



La moyenne de la classe à ce contrôle est de 11,9.

2. Propriétés de la Moyenne d'une série statistique
Propriété 1
Si on multiplie toutes les valeurs d’une série statistique par un même nombre alors on multiplie sa moyenne par ce même nombre .

Exemple : A un contrôle, la moyenne est de 6,5. Le professeur décide de multiplier toutes les notes par 2. La moyenne devient alors :


Propriété 2 
Si on ajoute à toutes les valeurs d’une série statistique un même nombre alors on ajoute à sa moyenne ce même nombre .

Exemple : La moyenne à un examen est de 8,5. Le jury décide d’augmenter toutes les notes de 2 points. La moyenne de l’examen devient alors : 8,5 + 2 = 10,5


Propriété 3
Si la population est partagée en deux parties disjointes d’effectifs N1 et N2 et de moyennes respectives m1 et m2 alors la moyenne de la population sera :

Exemple :
A un contrôle commun, une classe de 34 élèves a obtenu 13,5 de moyenne.
Une autre classe de 32 élèves a obtenu 12 de moyenne.
La moyenne des deux classes réunies sera :

(au dixième près)

La moyenne des deux classes réunies est d’environ 12,8.

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