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Cours de mathématiques 4e - La droite des milieux


Note par nos Maxinautes :  
Objectif
La droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle a des propriétés très intéressantes.
Comment utiliser les propriétés de la droite des milieux dans un triangle ?
1. Droite passant par deux milieux
La droite qui joint les milieux de 2 côtés d’un triangle est appelée « droite des milieux »

Propriété 1 : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.
Données : B’ est le milieu de [AC] et C’ le milieu de [AB]

Citation :
Dans un triangle ABC, la droite (d) passe par les milieux de [AB] et [AC] (droite des milieux), donc la droite (d) est parallèle au troisième côté.

Conclusion : 
(d) // (BC)


Propriété 2 : Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Sur le schéma précédent on a :

Données : B’ est le milieu de [AC] et C’ le milieu de [AB]

Citation : Dans le triangle ABC, les points B’ et C’ sont les milieux respectifs de [AC] et [AB], donc la longueur B’C’ est égale à la moitié de la longueur du troisième côté [BC].

Conclusion : B'C' = BC

Exemple: sur le schéma précédent

Si  BC = 6 cm  alors  B'C' = BC = × 6 = = 3 cm

2. Droite passant par un milieu et parallèle à un côté
Propriété 3 : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Données : B’ est le milieu de [AC] et (d) est parallèle à (BC).

Citation :
Dans le triangle ABC, la droite (d) passe par le milieu de [AC] et est parallèle à (BC), donc la droite (d) passe par le milieu du troisième côté.

Conclusion :
C’ est le milieu de [AB]
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