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Cours de mathématiques 5e - Multiples et diviseurs


Note par nos Maxinautes :  
Objectifs :
Multiples, diviseurs et divisibilité sont trois notions étroitement liées.
Quand peut-on dire qu’un nombre est divisible par un autre nombre ? Existe-t-il des critères qui permettent de prévoir si un nombre est divisible ?
1. Divisibilité
Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Dans ce cas, a est un multiple de b et b est un diviseur de a.

Exemple
1

238 est divisible par 14 car 238 ÷ 14 = 17.
En effet, la division euclidienne de 238 par 14 donne un reste nul.

Dans ce cas, on dit que 238 est un multiple de 14 et de 17 car 238 = 14 × 17.
De même, on dit que 14 est un diviseur de 238.
Remarque
17 est aussi un diviseur de 238 car 238 ÷ 17 = 14.

Exemple 2
72 est divisible par 24 car 72 ÷ 24 = 3.
72 est un multiple de 24 et de 3.
24 est un diviseur de 72.

Contre-exemple
316 ÷ 25 = 12,64.
316 n’est pas divisible par 25. 25 n’est donc pas un diviseur de 316.
2. Critères de divisibilité
► Un nombre est divisible par 2 s’il est pair.
Exemples
2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ;… ; 178 ;…342 ; …

► Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemples
249 est divisible par 3 car = 15 qui est divisible par 3 (15 ÷ 3 = 5).
376 n’est pas divisible par 3 car 3 + 7 + 6 = 16 qui n’est pas divisible par 3.

► Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Exemples
272 est divisible par 4 car le nombre 72  est divisible par 4 (72 ÷ 4 = 18).
346 n’est pas divisible par 4 car le nombre 46 n'est pas divisible par 4.

► Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
Exemples
2 560 et 545 sont divisibles par 5 car ils se terminent par 0 ou 5.
Par contre, 4 584 n’est pas divisible par 5.

► Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples
2 538 est divisible par 9 car + 3 + = 18 qui est divisible par 9 (18 ÷ 9 = 2).
Par contre, 4 362 n’est pas divisible par 9 car 4 + 3 + 6 + 2 = 15 qui n’est pas divisible par 9.
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