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Cours de mathématiques Terminale STMG - Ajustement affine


Note par nos Maxinautes :  
Objectif(s) 
Ajustement affine - droite d'ajustement - méthode des moindres carrés - application à l'interpolation
1. Définition
On considère les points du nuage associés à une série statistique double.
Lorsque ces points sont sensiblement alignés, on peut construire une droite passant « au plus près de ces points ». On dit alors que cette droite réalise un ajustement affine du nuage de points de la série statistique double.

Exemple
Les points du nuage représenté ci-dessous sont presque alignés.


2. Détermination de la droite d'ajustement « au jugé »
La plus simple des façons de déterminer cette droite d'ajustement est de tracer cette droite au plus près des points du nuage. On dit alors que l'on a déterminé la droite d'ajustement graphiquement, « au jugé ».

Exemple
Dans l'exemple précédent, on peut tracer à la main une droite qui semble alors proche des points du nuages.



Remarque
Cette méthode empirique fonctionne assez bien si l'on ne recherche pas une grande précision mais ce n'est évidemment pas la méthode retenue dans les exemples concrets. On lui préfère une méthode plus juste mathématiquement, celle dite « des moindres carrés ».
3. La méthode « des moindres carrés »
Pour déterminer l'équation de la droite d'ajustement d'un nuage de point donné, on préférera utiliser une méthode basée sur la minimisation des carrés des écarts entre les points de nuage et des points de la droite d'ajustement.
La méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite dite « de régression de y en x » qui rend minimale la somme : .

Dans la pratique, on détermine cette droite de régression de y en x, d'équation y = ax + b à l'aide de la calculatrice.
Les coefficients a et b de cette équation sont définis par :
, que l'on note : .

Remarque importante
Par définition, la droite de régression de y en x du nuage passe toujours par le point moyen du nuage de la série.

Exemple
Si l'on considère la série statistique de l'exemple précédent :

xi 100 110 120 130 140 150 160
yi 105 95 75 68 53 46 31

Alors sur votre calculatrice :
1. entrer dans le menu STATS ;
2. dans l'éditeur de listes, entrer les deux listes de données ;
3. sélectionner 2-Var Stats en précisant les deux noms des listes (souvent L1, L2) ;
4. dans le menu CALC, sélectionner le menu LinReg(ax+b) ou Reg selon les modèles ;
5. vous aurez alors directement l'équation de la droite de régression ou les coefficients de son équation.
 
Ici, on obtient, à 0,001 près pour les coefficients, une droite de régression de y en x pour cette série statistique : y = -1,221x + 226,357.
Ainsi, graphiquement on peut constater la différence entre cette droite obtenue par la méthode des moindres carrés et celle obtenue « au jugé ».


Remarque
On pourrait aussi trouver ces coefficients « à la main ».

À titre d'exemple ici il faudrait calculer :





.

Et alors : .
4. Application directe : interpolation linéaire
L'intérêt de cette droite de régression est d'obtenir une relation entre les valeurs xi et les valeurs yi.
Cela permet d'effectuer des interpolations ou extrapolations.

Exemple
Ainsi, dans l'exemple précédent, on peut estimer que si x = 60, alors soit y ≈ 153,097.

Remarque importante
Ces interpolations n'ont de sens que s'il existe vraiment une relation (nommé corrélation) entre les variables x et y.
Il faut, ici, que cette corrélation soit de type linéaire et donc que les points du nuage soient « presque » alignés.
Ajustement affine 4/5 basé sur 57 votes.
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