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Cours de mathématiques 4e - Agrandissements et réductions


Note par nos Maxinautes :  
Objectifs
Comme pour les échelles sur une carte géographique, on peut agrandir ou réduire une figure.
Comment agrandir ou réduire une figure ? Quelles propriétés possèdent les agrandissements ou les réductions ? Quel est le lien entre le théorème de Thalès et l’agrandissement ou la réduction d’un triangle ?
1. Agrandissement et réduction d'une figure
Exemple : MNP et ABC sont deux triangles dont les mesures sont donnés ci-dessous :
Longueurs de MNP MN = 5 cm MP = 4 cm NP = 3 cm
Longueurs sur ABC AB = 10 cm AC = 8 cm BC = 6 cm

On remarque que l’on passe des longueurs du triangle MNP à celles du triangle ABC en multipliant par 2. De même on passe des mesures de ABC à MNP en multipliant par (en divisant par 2).
Par conséquent les longueurs des deux triangles sont proportionnelles.
On dit que le triangle ABC est un agrandissement de MNP ou que MNP est une réduction de ABC.

En règle générale :
Une figure F’ est un agrandissement d’une figure F si leurs dimensions sont proportionnelles et si le coefficient de proportionnalité passant des longueurs de F à F’ est supérieur à 1.
 
Une figure F’ est une réduction d’une figure F si leurs dimensions sont proportionnelles et si le coefficient de proportionnalité passant des longueurs de F à F’ est inférieur à 1.
2. Propriétés des agrandissements et des réductions
• Lorsqu’une figure est agrandie ou réduite, les angles sont conservés.
• Lorsqu’une figure est agrandie ou réduite, le parallélisme et la perpendicularité sont conservés

Exemple : On passe de la figure 1 (trapèze rectangle) à la figure 2 en multipliant chacune des longueurs par 1,5. La figure 2 est donc un agrandissement de la figure 1.

Les angles de même couleur sont conservés. Le parallélisme et la perpendicularité (angles rouges) sont aussi conservés.

3. Agrandissement-réduction et théorème de Thalès
Soit la configuration de Thalès suivante : (MN) est parallèle à (BC).


 
Théorème de Thalès : Si une droite est parallèle à un côté d’un triangle, alors les deux triangles formés ont des côtés proportionnels.
Le coefficient de proportionnalité pour passer des longueurs de ABC à AMN est donné par :

Comme AB, AC et BC sont plus grands que AM, AN et MN, le coefficient de proportionnalité est plus petit que 1.

Donc le triangle AMN est une réduction de ABC. De même, on dirait que ABC est un agrandissement de AMN.
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