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Cours de mathématiques 1re STMG - Moyenne


Note par nos Maxinautes :  
Objectif(s)
Moyenne d'une série statistique - Moyenne élaguée - Linéarité de la moyenne - Mode
1. Moyenne d'une série statistique
La moyenne d'une série statistique est égale au quotient de la somme des valeurs du caractère par l'effectif total.
Appelons v1, v2, ... , vp, les valeurs prises par le caractère étudié et n1, n2, ... ,np, les effectifs correspondants.
n1 + n2 +...+np = N ; N est l'effectif total.
 
Valeur
v1
v2
...
vp
Effectif
n1
n2
...
np

La somme des valeurs du caractère est : n1v1 + n2v2 + ... + npvp.

.

Si la série comporte de nombreuses valeurs ou si le détail des calculs n'est pas demandé, on confie son calcul aux calculatrices en utilisant les listes. Par exemple, on entre les valeurs dans la liste L1 et les effectifs correspondants dans la liste L2.

Exemple de calcul « à la main »
Soit la série statistique suivante :

vi 4 10 25 30 50
ni 1 2 1 2 1

.

La moyenne arrondie au dixième est 18,2.

Attention au cas où la série est donnée sous forme d'un tableau de fréquences.
Appelons v1, v2,...,vp, les valeurs prises par le caractère étudié et f1, f2,...,fp, les fréquences correspondantes.
Valeur v1 v2 ... vp
Effectif f1 f2 ... fp
 
On sait que , ..., on en déduit que :


Le calcul à la main est plus simple. Le calcul confié à la calculatrice demande, parfois, une petite adaptation car certaines machines n'acceptent pas que l'on « entre » dans la liste L2 des valeurs décimales. La parade est de multiplier les fréquences par 100 ou 1000. Alors la calculatrice fonctionne et donne la bonne valeur de la moyenne.

Exemple  de calcul « à la main »
Soit la série statistique donnée ci-dessous par son tableau de fréquences.
 
Valeur 1,8 2 2,2
Fréquence 0,16 0,25 0,59

.

La moyenne arrondie au dixième est 2,1.
2. Moyenne élaguée
Parfois l'une des valeurs prises par le caractère est très différente des autres, elle semble exceptionnelle et il paraît opportun de ne pas la prendre en compte dans le calcul de la moyenne. La moyenne obtenue sans tenir compte des valeurs dites « aberrantes » s'appelle la moyenne élaguée.

Exemple
Le tableau ci-dessous est celui de la série statistique des retards à l'arrivée des vols de la compagnie aérienne X au cours du mois de Janvier 2001.

Retard en min 10 20 30 40 50 60 70 180
Effectif 15 19 10 7 3 2 2 1

La moyenne de cette série arrondie à l'entier est 29 min.
Si l'on ne tient pas compte de la valeur aberrante 180, la moyenne « élaguée » est 26 min.
3. Linéarité de la moyenne
Si on ajoute le même nombre à toutes les valeurs d'une série, la nouvelle moyenne est la somme de l'ancienne moyenne et de ce nombre.
Si on retranche le même nombre à toutes les valeurs d'une série, la nouvelle moyenne est la différence entre l'ancienne moyenne et ce nombre.
Si on multiplie par le même nombre toutes les valeurs d'une série, la nouvelle moyenne est le produit de l'ancienne moyenne par ce nombre.
Ces propriétés permettent de simplifier les calculs.

Exemple
Calculer la moyenne des 15 notes [18, 15, 7, 4, 12, 11, 10, 11, 16, 5, 6, 2, 8, 12, 15].

Retranchons 10 à chacune des valeurs, on obtient :
8, 5, -3, -6, 2, 1, 0, 1, 6, -5, -6, -8, -2, 2, 5.
La somme de ces 15 notes se calcule de tête, elle est égale à 0.
Leur moyenne est donc 0.

On en déduit que la moyenne des notes données est 10.
4. Mode
On appelle mode d'une série, la valeur, si elle existe, à laquelle correspond le plus grand effectif.

Exemple
Le mode de la série ci-dessous est 20 minutes.

Retard en min. 10 20 30 40 50 60 70 180
Effectif 15 19 10 7 3 2 2 1


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