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Cours de mathématiques Terminale STMG - Suites arithmétiques


Note par nos Maxinautes :  
Objectif(s)
Définition - Calcul de un - Sens de variation - Représentation graphique - Somme des n premiers termes
1. Définition
Dire qu'une suite (Un) est arithmétique de raison r signifie qu'il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n :
un + 1 = un + r.

Exemples 
• Les 7 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme de 1 et de raison 3 sont : 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19.

• Dans ma « tire-lire » qui contient 10 euros, je mets chaque mois 5 euros. Les sommes contenues dans ma tire-lire les mois suivants sont les termes d'une suite arithmétique de premier terme 10 et de raison 5 : 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35 ; ...
2. Calcul de Un
Théorème
Une suite (Un) est arithmétique de raison r signifie que, pour tout entier naturel nun = u0 + nr.

Exemples
• La suite arithmétique (Un) est de raison r = 5 et de premier terme u0 = 10.
Alors, pour tout entier naturel n, on a :
un = u0 + nr = 5n + 10
et un-1 = u0 + (n - 1)r
            = 10 + 5(n - 1) + 10
            = 5n + 5.

Application :
.

• La suite (Un) définie pour tout entier naturel n ≥ 0 par un = -2n + 3 est arithmétique et sa raison est -2.
En effet, un = u0 + nr avec u0 = 3 et r = -2.
3. Représentation graphique
La représentation graphique d'une suite arithmétique est constituée de points alignés.

Exemple
Soit la suite arithmétique de premier terme uo = 10 et de raison r = 5.

Alors, pour tout entier naturel n, on a : Un = 5n + 10.
La représentation graphique des termes de cette suite est constituée de points alignés sur le droite d'équation y = 5x + 10 comme le montre le graphique suivant :
 
Dire qu'une suite (Un) est arithmétique de raison r signifie qu'il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n : .

Exemples
• Les 7 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3 sont : 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19.

• Dans ma tirelire qui contient 10 euros, je mets chaque mois 5 euros. Les sommes contenues dans ma tirelire les mois suivants sont les termes d'une suite arithmétique de premier terme 10 et de raison 5 qui sont : 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35 ; ...
4. Sens de variation
Une suite arithmétique u dont la raison r est positive ou croissante.
Une suite arithmétique u dont la raison r est négative est décroissante.

Exemples
• La suite arithmétique u de premier terme 10 et de raison 5 est croissante car la raison (5) est positive.
• La suite arithmétique v de premier terme 1000 et de raison -200 est décroissante car la raison (-200) est négative.

 

5. Somme de termes consécutifs
Si l'on désigne par « 1er terme » le premier terme de la somme et par « dernier terme » le dernier terme de la somme, alors pour tout n,

Exemple 1
La somme S des 13 premiers termes de la suite arithmétique u de premier terme u0 = 10 et de raison 5 est S = 520.
En effet, un = 10 + 5n.
Alors, .
Donc S = U0 + U1 + ... + U11 + U12.

Sachant que ,
on peut écrire : .

Exemple 2
La somme S des n premiers termes de la suite arithmétique u de premier terme u0 = 1000 et de raison -200 est : S = n(1100 - 100n).

En effet, le n-ième terme est un - 1.





.

Exemple 3
(Un) est une suite arithmétique.
Alors car la somme a dix termes.
Suites arithmétiques 4/5 basé sur 145 votes.
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