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Cours de mathématiques 5e - Les formules de distributivité


Note par nos Maxinautes :  
Objectifs :
La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la soustraction permet de simplifier certains calculs.
Quelles sont les formules de distributivité ? Comment développe-t-on ou factorise-t-on une expression ?
1. Introduction géométrique
Découvrons une des formules de distributivité en calculant l’aire du rectangle ACDF de deux manières différentes :

1re manière
Aire(ACDF) = AF × AC = k × (a + b)

2ème manière
Aire(ACDF) = Aire(ABEF) + Aire(BCDE) = AF × AB + AF × BC = k × a + k × b.
On a donc :
k × (a + b) = k × a + k × b.
2. Formules de distributivité
D’après ce qui précède, et en généralisant à la soustraction, on obtient les formules de distributivité suivantes :
k × (a + b) = k × a + k × b ; écriture simplifiée : k(a + b) = ka + kb.
k × (a − b) = k × a − k × b ; écriture simplifiée : k(a − b) = ka − kb.
a. Développement
Développer, c’est transformer une multiplication en une somme ou en une différence.
Dans le cas des formules de distributivité, on a :
• k × (a + b) = k × a + k × b.
• × (a − b) = k × a − k × b. 

On a transformé le produit de k par (a + b) (respectivement (ab)) en une somme (respectivement une différence).
On dit que l’on a développé × (b) et × (− b).

Exemples

• Développer l’expression 3(+ 7).
D’après les formules de distributivité, on a : 3(+ 7) = 3+ 3 × 7 = 3+ 21.

• Développer 5(2− 8).
D’après les formules de distributivité, on a : 5(2− 8) = 5 × 2− 5 × 8 = 10– 40.
b. Factorisation
Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit.
En effectuant une lecture de droite vers la gauche des formules de distributivité, on a :
• k × a + × b = k × (a + b).
• × a − k × b = k × (a − b).

On dit que l’on a factorisé l’expression par k (produit de deux facteurs).

Exemples 
• Factoriser par x l’expression 2+ 7x.
2+ 7x(2 + 7) = 9x.
Dans ce cas, la factorisation sert à simplifier l’expression.

• Simplifier l’expression 7+ 3– 5+ 4b, en factorisant.
7+ 3– 5+ 4= 7– 5+ 3+ 4a(7 – 5) + b(3 + 4) = 2+ 7b.
c. Applications au calcul mental
• Forme développée
Calculons mentalement 15 × 99.

On remarque que :
99 = 100 – 1. On écrit donc :
15 × 99 = 15 × (100 − 1). On distribue alors 15 :
15 × (100 − 1) = 15 × 100 − 15 × 1 = 1 500 – 15 = 1 485.

• Forme factorisée
Calculons mentalement 13,8 × 7,5 + 13,8 × 2,5.

On remarque que l’on peut factoriser par 13,8 :
13,8 × 7,5 + 13,8 × 2,5 = 13,8 × (7,5 + 2,5). On effectue alors le calcul entre parenthèses en premier :
13,8 × (7,5 + 2,5) = 13,8 × 10 = 138.
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