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Cours de mathématiques 1re ES - Équation du second degré


Note par nos Maxinautes :  
1. Rappels
Fonction polynôme de degré n :
.
Toute fonction de la variable x pouvant s’écrire sous la forme :sont des réels avec an ≠ 0, est une fonction polynôme de degré n.
Exemples :
est une fonction polynôme de degré 3.
On dira souvent « un » polynôme plutôt que « une fonction » polynôme.
est un polynôme du second degré. On dit souvent « un trinôme » du second degré.
2. Équation du second degré
a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.
Soit un trinôme du second degré donné sous sa forme développée.
On cherche à résoudre l’équation .

s’écrit .

1. Factorisation de par utilisation des égalités remarquables :
.
On réduit au même dénominateur les deux derniers termes : .
Finalement, on obtient .
Cette dernière forme est appelée « forme canonique du trinôme du second degré ».
On note , quantité que l’on nomme discriminant de l’équation.

2. Résolution de l’équation :
Remarque : comme a n’est pas nul (hypothèse de départ), résoudre c’est résoudre .
Dans l’expression ci-dessus, est un carré donc toujours positif ou nul. Trois cas :

Si Δ > 0 , on peut écrire donc

on utilise la 3e égalité remarquable : .
Remarque : est nommée « forme factorisée du polynôme ».
Résoudre c’est résoudre . C’est un produit de facteurs, ou .
Donc, si Δ > 0 , l’équation possède deux solutions réelles : et .

SI Δ = 0 alors résoudre c’est résoudre , d’où la (les) solution(s) immédiate(s) . Cette solution est nommée solution double.

• SI Δ < 0 alors l’équation n’a pas de solution réelle (ajouter un carré avec un nombre positif ne peut pas être nul).

Remarque : les solutions éventuelles d’une équation du second degré sont aussi appelées « racines » de l’équation.

3. Algorithme de résolution de l’équation , a, b, c réels avec a0 :
• Calculer le discriminant .
• SI Δ > 0 l’équation possède deux solutions réelles : et .
• SI Δ = 0 une solution double .
• SI Δ < 0 l’équation n’a pas de solution réelle.

4. Exemples de résolution d’équations du second degré :

• Résoudre dans l’équation .
a = 2 ; b = - 5 et c = 3.
. Δ positif, l’équation possède deux solutions (ou racines) :
et .

• Résoudre dans l’équation .
a = 4 ; b = - 4 et c = 1.
. Δ est nul, l’équation possède une racine double : .

• Résoudre dans l’équation .
a = 3 ; b = 4 et c = 5.
. Δ est négatif, l’équation n’a pas de racine dans .
3. Signe d’un trinôme du second degré
a, b et c sont des réels avec a ≠ 0. Soit un trinôme du second degré. Le signe de f(x) est donné par le tableau ci-dessous :

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