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Cours de mathématiques 5e - Calculs enchaînés sur les nombres


Note par nos Maxinautes :  
Objectif
Les calculs mélangeant des additions, des soustractions, des multiplications, des divisions ou des parenthèses, nécessitent de mettre en place un certain nombre de règles définissant les ordres de priorités.
Quels sont les opérations prioritaires dans un calcul avec ou sans parenthèses ?
1. Opérations sans parenthèses
a. Suite d'additions et de soustractions
Dans une suite d’opérations composée uniquement d’additions et de soustractions, on opère dans l’ordre d’écriture (de la gauche vers la droite).
Exemples
• 23,8 + 8,4 – 4,2 = 32,2 – 4,2 = 28.
• 16,5 – 4,7 + 5,6 – 1,9 = 11,8 + 5,6 – 1,9 = 17,4 – 1,9 = 15,5.

Remarque : On effectue les opérations de la gauche vers la droite sans omettre de réécrire les nombres non utilisés.

Cas particulier
Parfois, il peut être intéressant de déroger à la règle en calculant plus simplement.

Exemple
Calculer 17,2 + 14,5 − 17,2 + 7,5.

On remarque que 17,2 − 17,2 = 0. On effectue donc cette opération comme suit :
17,2 + 14,5 − 17,2 + 7,5 = 14,5 + 7,5 = 22.
b. Opérations comprenant des multiplications ou des divisions
Dans une suite d’opérations ne comprenant que des multiplications, on opère dans n’importe quel ordre.
Il peut parfois être intéressant de regrouper certains facteurs pour simplifier l’opération.

Exemple
Calculer 25 × 14,2 × 4.
On remarque que 25 × 4 = 100. On a donc :
25 × 14,2 × 4 = 25 × 4 × 14,2 = 100 × 14,2 = 1 420.
Dans une suite d’opérations comprenant, entre autres, des multiplications ou des divisions, on effectuera d’abord les multiplications (ou les divisions) avant les additions et les soustractions.
On dit que la multiplication et la division sont prioritaires devant l’addition et la soustraction.

Exemples
• 2,6 + 3 × 5 = 2,6 + 15 = 17,6 ; la multiplication est prioritaire devant l’addition.
• 4,5 − 8 ÷ 4 = 4,5 − = 2,5 ; la division est prioritaire devant la soustraction.
• 5 × 7 − 9 ÷ 3 35 − = 32 ; la division et la multiplication sont prioritaires devant la soustraction.

Remarque : On effectue les opérations prioritaires sans omettre de réécrire les nombres non utilisés.
2. Opérations entre parenthèses
Dans une suite d’opérations comprenant des parenthèses, on commence par calculer les parenthèses en commençant par les plus intérieures.
Exemples
• 4,3 + (3 + 8,2) × 5 = 4,3 + 11,2 × 5 ; on calcule en premier l’addition entre parenthèse.
4,3 + (3 + 8,2) × 5 = 4,3 + 11,2 × 5 ;
4,3 + (3 + 8,2) × 5 = 4,3 + 56 ; la multiplication est prioritaire devant l’addition.
4,3 + (3 + 8,2) × 5 = 60,3.

• 3,8 × (25 – (3 + 4 × 5)) = 3,8 × (25 – (3 + 20)).
On calcule la parenthèse située le plus à l’intérieur en commençant par la multiplication qui est prioritaire devant l’addition.
3,8 × (25 – (3 + 4 × 5)) = 3,8 × (25 – (3 + 20))
3,8 × (25 – (3 + 4 × 5)) = 3,8 × (25 – 23)
3,8 × (25 – (3 + 4 × 5)) = 3,8 × 2 ; on calcule la parenthèse en premier.
3,8 × (25 – (3 + 4 × 5)) = 7,6.

Remarque : On effectue les opérations entre parenthèses en premier sans omettre de réécrire les nombres non utilisés.
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