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Cours de mathématiques 1re ES - Loi binomiale, loi de Bernoulli


Note par nos Maxinautes :  
Objectifs :
• Reconnaître un schéma de Bernoulli,
• Calculs de probabilités dans le cadre de la loi binomiale,
• Utiliser l’espérance d’une loi binomiale.
1. Définition : schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.

Exemple :
On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est . On gagne 5 € pour chaque sortie de « Pile ». Tracer l’arbre pondéré et déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès.
Un succès s est représenté par chaque apparition de l’événement « Pile », de probabilité p =   . L’échec, l’événement aura pour probabilité  .



k 0 1 2 3
P(X=k)

Les résultats sont laissés sous forme de fraction de la totalité des cas (on pourrait passer en fractions irréductibles).

Remarque :
on dit que cette loi de probabilité est la loi du nombre de succès.
2. Notation et définition
On nomme coefficient binomial, noté qui se lit k parmi n, le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n.
Exemples :
→ Pour le schéma de Bernoulli précédent,
• Pour 0 succès on a car un seul chemin n’a aucun succès.
• Pour 2 succès on a car trois chemins ont 2 succès.

Remarque : les coefficients binomiaux sont donnés par toutes les calculatrices de lycée.
3. Utilisation d'une calculatrice
a. Utilisation d’une calculatrice pour déterminer des coefficients binomiaux
Par exemple .

Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « Combinaison » (qui est dans le menu « Math/Prb ») puis l’argument k (ici 2). Si les instructions sont en anglais, la fonction sera « nCr » dans le même menu qu’indiqué.

Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « nCr(3,2).

Sur Casio écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « nCr » (dans « OPTN » puis « PROB ) puis l’argument k (ici 2).

Utilisation d’un tableur pour déterminer des coefficients binomiaux :
• Dans une cellule écrire « =COMBIN(3;2)».
b. Loi binomiale de paramètre n et p
Pour un schéma de Bernoulli d’ordre n, de probabilité p pour chaque succès de l’épreuve, la loi de probabilité de la variable X qui à chaque issue associe k succès est avec .

Notation : cette loi est notée .

C’est ce que l’on constate avec l’exemple précédent. Pour 2 succès, on peut compter « à la main » la probabilité de chaque chemin et additionner le tout, ce qui donne . D’après la définition, pour on a .
c. Utilisation d’une calculatrice pour déterminer P(X=k) pour une loi binomiale de paramètres n et p
Par exemple P(X=k) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462.

Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) entrer la fonction « binomFdp(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.

Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « binomPdf(1000,0.5,462) »
(rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables).

Sur Casio entrer la fonction « BinomialPD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bpd » pour finir) avec les arguments k = 462, n = 1000 et p = 0,5.

Utilisation d’un tableur pour déterminer P(X=k) :
• Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;FAUX) ».

Remarque : sur certains tableurs au lieu de « FAUX » il faut écrire 0.
d. Utilisation d’une calculatrice pour déterminer P(X inférieur ou égal à k) pour une loi binomiale de paramètres n et p
Par exemple P(Xk) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462 (utilisé ci-après).

sur Texas instrument entrer la fonction « binomFrép(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.

sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « binomCdf(1000,0.5,0,462) »
(rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables).

Sur Casio entrer la fonction « BinomialCD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bcd » pour finir) avec les arguments k = 462 la valeur à tester, n = 1000 et p = 0,5.

Utilisation d’un tableur :
• Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;VRAI) » que l’on tirera vers le bas.

Remarque : sur certains tableurs au lieu de « VRAI » il faut écrire « 1 ».
4. Espérance de la loi binomiale
Le calcul de l’espérance est immédiat :

Dans l’exemple précédent on aurait donc
5. Propriétés des coefficients binomiaux
On peut remarquer :
Par convention .

• Si alors .
• Si alors (formule de Pascal).

Ces deux règles permettent de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche, en construisant le « Triangle de Pascal » par exemple, ce qui se fait assez facilement sur tableur.



Dans le tableur enlever l’affichage des zéros (cliquer sur Outils/Options puis décocher la case « Valeurs zéro » dans Affichage).
Mettre des 1 en première colonne et en diagonale.
En B3 on écrira une formule du genre « =A2+B2 » que l’on recopie vers le bas, on recopie aussi cette formule vers la droite pour les cellules sans valeur à l’intérieur du triangle.

Rappel : les coefficients binomiaux sont obtenus avec la calculatrice.
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