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Cours de mathématiques 1re L - Taux d'évolution, coefficient multiplicateur


Note par nos Maxinautes :  
Objectif
Calculer un taux d’évolution, lien avec les pourcentages.
Utiliser le coefficient multiplicateur.
Savoir passer d’un taux d’évolution au coefficient multiplicateur et réciproquement.
1. Taux d'évolution
Le taux d’évolution d’une variable numérique (une quantité) est le rapport
où VI est la valeur initiale de la variable et VF sa valeur finale.

Exemple : le chiffre d’affaire d’une entreprise pour le mois de janvier était de 1,23 × 106 € (donc 1,23 millions d’euros). En février il est passé à 1,25 × 106 €.
Calculer le taux d’évolution du chiffre d’affaire de cette entreprise entre janvier et février.



Attention, il faut arrondir te à 4 chiffres après la virgule (voir ci-après).

Remarque : très souvent le taux d’évolution est exprimé sous forme d’un pourcentage, ce qu’il faut indiquer.
Pour l’exemple précédent, on peut écrire : le taux d’évolution exprimé en pourcentage (au centième près) est .
On aurait pu faire 0,0163 × 100 = 1,63 ; d’où te exprimé en pourcentage : te = 1,63 %.
2. Pourcentage, taux d'évolution et coefficient multiplicateur
Par définition, le coefficient multiplicateur est le rapport où VI est la valeur initiale de la variable et VF sa valeur finale.

Exemple : dans le cas de l’entreprise précédente, le coefficient multiplicateur CM de passage du chiffre d’affaire de janvier à février est :
Attention, le rapport CM doit être arrondi à 10–4 près.

Il est facile de passer de te à CM : ;
d’où : .

Une évolution peut être positive (augmentation de la valeur finale par rapport à la valeur initiale) : dans ce cas, où t est le taux de pourcentage d’augmentation.
Une évolution peut aussi être négative (diminution de la valeur finale par rapport à la valeur initiale), auquel cas .

Exemples :

• Le prix du carburant SP95 est passé de 1,53 € en avril 2011 à 1,5492 en mai de la même année. Calculer le coefficient multiplicateur, quel est le pourcentage d’augmentation ?
. On en déduit que ce carburant a subit une augmentation de 1,25 % car .

• On constate que pour les même dates, le gazole est passé de 1,37 € à 1,35 €. Calculer le coefficient multiplicateur, quel est le pourcentage d’évolution ?
valeur inférieure à 1. On en déduit que ce carburant a subi une baisse de 1,46 % car .

• Saison des soldes : dans un magasin vendant 280 articles de prix différents, des réductions de 15, 20, 25, 30 et 35 % vont être proposées. Légalement l’étiquette doit indiquer : l’ancien prix barré, le pourcentage de réduction, le nouveau prix.
Comment procéder pour un article anciennement affiché à 48 € qui sera soldé avec 25 % de réduction ? En déduire comment procéder pour chacun des articles.

Ce qu’il ne faut pas faire : baisse de 25 % pour 48 € donc puis 48–12 = 36. Le nouveau prix est 36. Cette méthode donne un résultat correct. Il faut 2 calculs pour chaque article !

Ce qu’il faut faire : baisse de 25 % donc . Pour tous les articles en baisse de 25 % le nouveau prix s’obtient en multipliant l’ancien prix par 0,75. Pour 48 €, . Le nouveau prix est 36. Cette méthode permet d’obtenir tous les nouveaux prix par un seul calcul, une fois calculé le coefficient multiplicateur (qui souvent se calcule mentalement).
Donc pour chaque pourcentage de réduction, calculer son coefficient multiplicateur, multiplier ce CM par chaque ancien prix pour obtenir le nouveau prix soldé.

• Le prix moyen TTC d’un litre de SP95 début juin 2011 était de 1,313 € (hors marges de distribution). Son prix HT 0,31 €. Certains disent que environ 80 % du prix de l’essence est représenté par les différentes taxes car ce qui est proche de 80 %.
Calculer le pourcentage des taxes appliquées au litre de SP95, commenter ce résultat.

La valeur initiale est le prix HT. On doit avoir .
D’où . Le pourcentage des taxes appliquées est donc de 323,55 %.
Il n’est pas faux de dire que « sur le prix payé, environ 80 % est représenté par des taxes » ;toutefois, il serait plus correct de dire « le pourcentage de taxes sur le carburant SP95 est supérieur à 320 % ».

Remarque : dans les calculs de pourcentage, il faut absolument utiliser le coefficient multiplicateur (sauf pour un calcul direct).

3. Passer du taux de pourcentage (ou d'évolution) au coefficient multiplicateur et réciproquement
On retiendra que pour une hausse ou pour une baisse.
Et que pour une hausse ou pour une baisse.

Exemples :

• En juin 2011 le prix du kWh d’électricité augmente de 3 %. Sachant qu’il était de 0,0817 € hors taxes en mai, quel est le tarif du kWh après l’augmentation ?
d’où le nouveau tarif : (le prix sera arrondi à l’unité supérieure !).
On remarquera que le pourcentage d’augmentation du coût pour l’usager est assez difficile à calculer car d’une part les taxes ajoutées au prix sont variables, et d’autres part, le forfait « compteur » sera lui augmenté de 30 % (ce qui pénalise les « petits » consommateurs).

• Une revue mensuelle d’économie propose un abonnement annuel à 49 € (port compris). Le prix des 11 numéros auquel sont ajoutés 4 numéros « hors série » serait de 68,10 €. Calculer le pourcentage de réduction.
C’est une réduction, .
Taux de réduction : 1 – 0,7195 = 0,2805. Le taux de pourcentage de réduction est donc de 28,05 %.

• En dollar constant, le cours du baril de pétrole est passé de 29,73 $ en janvier 2001 à 91 $ en janvier 2011. Quel est le taux de pourcentage d’évolution du baril de pétrole sur cette période ?
C’est une augmentation. .
Taux d’augmentation : 3,0609 – 1 = 2,0609. Le taux de pourcentage d’augmentation est donc de 206,09 %.

Remarque : le taux d’augmentation est supérieur à 100 % (qui représente un doublement de la quantité), en lisant la valeur du CM, on constate que le prix a été multiplié par un peu plus de 3 en 10 ans.
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