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Cours de mathématiques 2de - Fonctions linéaires et affines


Note par nos Maxinautes :  
Objectif
Parmi les fonctions numériques, les fonctions linéaires et affines expriment des situations de proportionnalité. Leurs représentations graphiques sont des droites.

Comment sont définies les fonctions linéaires et affines ? Quelles sont leurs représentations graphiques et leurs sens de variation ?
1. Fonctions linéaires
Une fonction f est linéaire si, pour tout réel x, f (x) = ax (où a est un réel fixé).


Les valeurs de x et de f(x) sont proportionnelles.
Le coefficient de proportionnalité est a.


La représentation graphique dans un repère (O,I, J) d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine, de coefficient directeur a.
2. Fonctions affines
Une fonction f est affine si, pour tout réel x, f (x) = ax + b (où a et b sont des réels fixés).

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite de coefficient directeur a, dont b est l'ordonnée à l'origine.

Remarque : Cette droite ne passe par l'origine que si b est égal à 0 : f est alors une fonction linéaire.


Une fonction est affine si l'accroissement de la valeur de la fonction est proportionnel à l'accroissement de la valeur de la variable c'est à dire si .
 

3. Sens de variation
Une fonction affine f (x) = ax + b est :
                                                  croissante
     si a > 0
                                                  décroissante
si a < 0
                                                  constante
     si a = 0

4. Exemples de représentations graphiques
a. Représentation graphique de f(x) = 4x
On constate que la fonction f est linéaire donc sa représentation graphique est une droite passant par l'origine.

Pour tracer une droite, on a seulement besoin de deux points et on en connaît déjà un : l'origine car f (0) = 0.
Pour déterminer le deuxième point, calculons par exemple l'image de 1 :

On a f(1) = 4 1 = 4 donc la droite par aussi par le point de coordonnées (1 ; 4).

On obtient la représentation graphique de f :

b. Représentation graphique de f(x) = 2x + 3
On constate que la fonction f est affine sans être linéaire donc sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine.

Pour tracer une droite, on a seulement besoin de deux points. Pour déterminer ces deux points, calculons par exemple l'image de - 2 et celle de 1 :

On a
et
Donc les points de coordonnées (-2 ; - 1) et (1 ; 5) sont deux points de la représentation graphique de f.

On obtient la représentation graphique de f :



 

Illustration animée : Sélectionner la courbe représentative d'une fonction linéaire ou affine puis déplacer le point A le long de la courbe.

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