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Cours de mathématiques 1re S - Equation du second degré


Note par nos Maxinautes :  
Objectif
Résoudre une équation pouvant s’écrire sous la forme avec .
1. Résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
On pose appelé discriminant du trinôme (lire delta).

• Si alors cette équation n’admet pas de solutions réelles.
• Si alors cette équation admet une solution
• Si alors cette équation admet deux solutions et

Preuve
:

Pour cela, on utilise la forme canonique du trinôme (à l’avant dernière étape) et résoudre revient donc à résoudre ( a étant non nul).
Ce qui nous amène à résoudre en posant .
D’où la discrimination des 3 cas ci-dessus et les valeurs des éventuelles solutions.


2. Exemples de résolution
a. Résoudre l'équation -4x² - 3x + 10 =0
On reconnaît ici une équation de la forme avec a = -4, b = -3 et c = 10.

On calcule .

Comme , l’équation admet donc 2 solutions :


.

Ainsi, l’ensemble des solutions est .

Vocabulaire :
On dit que et -2 sont les racines du trinôme (autrement dit, lorsque l’on remplace x par ou -2, le trinôme s’annule).

b. Résoudre l'équation x² - x + 1 = 0
On reconnaît ici une équation de la forme avec a = 1, b = -1 et c = 1.

.

Comme , l’équation n’admet donc pas de solution.

c. Résoudre l'équation 4x² -10x +25/4 = 0
On reconnaît ici une équation de la forme avec a = 4, b = -10 et c =

Comme , l’équation admet une unique solution .
Ainsi, l’ensemble des solutions est

Remarque
Il n’est pas toujours nécessaire de calculer !

Exemples :
* Résoudre revient à résoudre soit x = -1 ou x = 1 .
* Résoudre revient à résoudre soit x = 0 ou x = 2.

3. Factorisation de ax² + bx + c = 0
• Si , ne se factorise pas dans .
• Si , .
• Si , et .
Preuve :
Reprenons la forme canonique
• Lorsque on distingue alors dans le crochet une quantité de la forme qui ne se factorise pas dans .
• Lorsque , est la racine du trinôme.
• Lorsque , et on reconnaît dans le crochet l’identité remarquable .

Exemples :

• On a vu que l’équation admet 2 solutions et 2 ().
Ainsi, d’où la factorisation du trinôme.
• Par contre, ne se factorise pas dans car .
• L’équation admet une unique solution  ().

Ainsi, .


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