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Cours de mathématiques 1re STMG - Généralités sur les suites


Note par nos Maxinautes :  
Objectif(s)
Définitions et vocabulaire - Sens de variation d'une suite - Représentation graphique
1. Définitions
Exemple
Posons U0 = 0, U1 = 1, U2 = 4, U3 = 9, U4 = 16, U5 = 25, U6 = 36, ..., Un = n2.
Dans ce cas, (Un) est appelée une suite.

Définition
Une suite (Un) est la donnée d’une liste ordonnée de nombres notés U0, U1, U2, U3 ... et appelés les termes de la suite (Un).
n représente l’indice ou le rang des termes de la suite.
U0 est le premier terme de la suite
Un (U « indice » n) est le terme général de la suite Un.

Remarque
Un-1 et Un+1 sont respectivement les termes précédent et suivant de Un.
2. Génération d'une suite
a. Suite définie par Un = f(n)
Exemple

On définit une suite (Un) en posant .
Dans ce cas le premier terme est .
, , ...

Définition
Pour toute fonction définie sur , on peut définir de manière explicite une suite (Un) = f (n) pour tout.

Autres exemples
 ;  ; ...

Remarque
On peut calculer directement le 10ème terme sans connaître les précédents.

Exemple

Si  alors .
b. Suite définie par une relation de récurrence
Exemple
Soit la suite définie par son premier terme U0 = 3 et tel que le terme suivant s'obtienne en multipliant par deux le terme précédent et en ajoutant 4.

U0 = 3,
U1 = 2 × U0 + 4 = 2 × 3 + 4 = 10 ;
U2 = 2 × U1 + 4 = 2 × 10 + 4 = 24 ;
U3 = 2 × U2 + 4 = 2 × 24 + 4 = 52...

La relation permettant de passer d’un terme à son suivant est appelé relation de récurrence.
Dans le cas précédent, la relation de récurrence de notre suite est :
Un+1 = 2 × Un + 4.

Définition
La donnée d’une « relation de récurrence » entre Un et Un+1 et du premier terme permet de générer une suite (Un).

Remarques
• On définit ainsi une suite en calculant de proche en proche chaque terme de la suite.
• On ne peut calculer le 10ème terme d’une suite avant d’en avoir calculé les 9 termes précédents.
3. Sens de variation d'une suite
Exemples
• La suite de carrés : 0 ; 1; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36... est une liste de nombres croissants donc (Un) définie par Un = n2 est une suite croissante.
• La suite des nombres inverses est : 1 ; ; ; ; ... est une liste de nombres décroissants donc (Un) définie par est une suite décroissante.

Définitions
• Si à partir d'un certain rang p, la suite (Un) est telle que chaque terme est inférieur à son suivant, alors la suite est croissante .
• Si à partir d'un certain rang p, la suite (Un) est telle que chaque terme est inférieur à son suivant, alors la suite des décroissante .

Autres exemples
Un = 2n
U0 = 20 = 1
U1 = 21 = 2
U2 = 22 = 4
U3 = 23 = 8
U4 = 24 = 16
(Un) est une suite croissante pour .

Un = - n3
Uo = 0
U1 = - 13 = - 1
U2 = - 23 = - 8
U3 = - 33 = - 27
(Un) est une suite décroissante pour .
4. Représentation graphique d'une suite
Afin de représenter graphiquement une suite on place, dans un repère orthonormé, l’ensemble des points de coordonnées :
(0 ; U0) ; (1 ; U1) ; (2 ; U2) ; (3 ; U3) ; (n ; Un).


Exemple


 
 
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