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Cours de mathématiques 1re ES - Fonctions de référence


Note par nos Maxinautes :  
Objectif
Les fonctions sont utiles en tant que modèle de description d’un phénomène physique, biologique, économique ou autre. Les étudier sur un certain intervalle permet d’envisager une estimation, une prévision de ce phénomène à un moment donné.

1. Rappel sens de variation d'une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de .

• f est croissante sur I si pour tout nombre a et b de I tels que a < b alors f(a) f(b).
Remarque : si on obtient l’inégalité stricte f(a) < f(b) on dit que f est strictement croissante sur I.

• f est décroissante sur I si pour tout nombre a et b de I tels que a < b alors f(b) f(a).
Remarques : On constate que le sens de l’inégalité entre les nombres a et b est inversé pour leurs images par la fonction. Si on obtient l’inégalité stricte f(b) < f(a) on dit que f est strictement décroissante sur I.

• On dit que f est monotone (ou strictement monotone) sur I, si elle est toujours croissante (strictement croissante) ou toujours décroissante (strictement décroissante) sur I.
2. Rappels fonctions usuelles
Il est obligatoire de connaître et d’avoir en mémoire le domaine de définition, le tableau des variations ainsi que la représentation graphique des fonctions usuelles vues en classe de seconde.
a. Fonction f(x) = x
f(x) = x
Domaine de définition : .
C’est une fonction linéaire, son image est une droite passant par l’origine. C’est la première bissectrice du repère.

Variations

Représentation graphique



b. Fonction affine f(ax) = ax + b
f(x) = ax + b
Domaine de définition : .
C’est une fonction affine, son image est une droite ne passant pas par l’origine (pour b ≠ 0).

Variations

Représentation graphique

Deux représentations graphiques ont été tracées d’une façon générale. Elles coupent toujours l’axe des abscisses en , et l’axe des ordonnées en y = b appelé ordonnée à l’origine.



c. Fonction carré f(x) = x²
f(x) = x2
Domaine de définition : .
Son image est une parabole.

Variations

Représentation graphique


d. Fonction trinôme du second degré f(x) = ax² + bx + c

Domaine de définition : .
Son image est une parabole.
Coordonnées du sommet : .
Pour la fonction présente un maximum si a > 0 ou un minimum si a < 0 de valeur .

Variations

Représentation graphique


Remarque : Deux représentations graphiques ont été tracées d’une façon générale. Elles peuvent être plus haut, plus bas, plus à droite ou à gauche en fonction des coefficients.
e. Fonction inverse f(x) = 1/x

Domaine de définition : .
Son image est une hyperbole.

Variations

Représentation graphique




f. Fonction homographique


Domaine de définition : .
Son image est une hyperbole.

Variations

Représentation graphique


 


Remarque : deux représentations graphiques ont été tracées d’une façon générale.
Pour la première a=7 ; b=−2 ; c=3 ; d=2, fonction croissante,
pour la seconde a=−5 ; b=1 ; c=2 ; d=1, fonction décroissante.
Elles pourraient être plus haut, plus bas, plus à droite ou à gauche, en fonction des coefficients.


3. Fonction racine
Soit pour 0 x.
a. Généralités
Domaine de définition : .
On remarquera que zéro (0) est inclus car est calculable, donc bien défini.
La fonction racine est strictement croissante sur son ensemble de définition.

Variations

Représentation graphique

b. Comparaison pour x > 0
On compare

Deux cas :
• Si alors .
En effet, d’où en multipliant par x qui est positif, .
De plus, la fonction racine est croissante. Comme on a : .
On obtient donc sur [0 ; 1].
• Si alors .
Même procédure : 1 < x donc d’où . Ce qui donne .
4. Fonction cube
Soit f : x → x3
Domaine de définition : .
Variations et représentation graphique : la fonction cube est strictement croissante sur son ensemble de définition.

Variations

Représentation graphique



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