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Cours de mathématiques 3e - Factorisation d'une expression


Note par nos Maxinautes :  
Objectifs
La factorisation permet de simplifier des expressions, et de résoudre des équations en les transformant en équations-produits. La factorisation par un facteur commun ou les identités remarquables sont les techniques les plus utilisées.
Comment factoriser une expression avec un facteur commun ? Comment factoriser une expression avec des identités remarquables ?
1. Factorisation d'une expression
Factoriser une expression numérique ou littérale, c’est l’écrire sous la forme d’un produit.

Exemple d'expression factorisée :        
    L'expression (3x–7)(2x+4) est factorisée

car elle n'est composée que d'un seul terme

qui comporte DEUX facteurs

Exemples d'expressions non factorisées :

Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un ) comportant chacun deux facteurs.


2. Factorisation par facteur commun
Rappel:                             k × a + k × b = k × (a + b)
                                       k × a – k × b = k × (a – b)
avec k, a et b trois nombres quelconques.

On dit que l’on a factorisé par k. On dit aussi que k est un facteur commun.
a. Facteur commun « évident »
Dans certains cas, on peut appliquer directement le rappel précédent :

Exemple 1 : factoriser l’expression



On a factorisé par (2x+3) l’expression E en un produit de 2 facteurs.

Exemple 2 : factoriser l’expression



On a factorisé par 2 l’expression F en un produit de 3 facteurs.
b. Facteur commun « caché »
Parfois, le facteur commun n’est pas apparent. La première étape de calculs va alors consister à le faire apparaitre.

1. Factoriser l’expression
On remarque que . On peut donc réécrire l’expression sous la forme

Le facteur (x – 2) est commun aux deux termes;

par conséquent :  

2. Factoriser l’expression
On remarque que . On peut donc réécrire l’expression sous la forme .

Le facteur (3x + 5) est commun aux deux termes;

par conséquent :  

3. Factorisation par identités remarquables
Les identités remarquables rencontrées lors des développements vont aussi nous permettre de factoriser des expressions. Pour cela, il suffit d’inverser ces formules de développements.
On obtient les formules suivantes :                

Exemples :

1. Factoriser
On reconnait la deuxième identité remarquable en posant : a = x et b = 3.



2. Factoriser
On remarque que 81 = 9² ; on peut donc utiliser la première identité remarquable en posant :
a = 2x–1 et b = 9.


3. Factoriser
On remarque que   et on utilise la première identité remarquable en posant :
a = 2–3x et b = .



Remarques :
• Le plus souvent, on factorise avec un facteur commun ou l’identité remarquable : .
• Factoriser une expression est très utile pour résoudre des équations-produits.
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