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Cours de mathématiques 1re STMG - Variance - écart type


Note par nos Maxinautes :  
Objectif(s)
Variance - Écart type
1. Variance
v1, v2,...,vp, sont les valeurs prises par le caractère étudié ;
n1, n2,..., np, sont les effectifs correspondants.
n1 + n2 +...+np = N ; N est l'effectif total.

Valeur v1 v2 ... vp
Effectif n1 n2 ... np
Si moy est la moyenne de la série, par définition, la variance de la série est le nombre :



On démontre que la variance est égale à la différence entre la moyenne des carrés des valeurs v1, v2,..., vp, et le carré de leur moyenne.
Variance = moyenne (vi2) - moy2.
Si le détail des calculs est demandé, c'est la deuxième formule qui est la plus simple d'utilisation.

► Exemple 1
Soit la série des notes obtenues à l'épreuve de philosophie du baccalauréat en juin 2000, par 68 élèves de TS.

Note 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Effectif 1 1 7 3 10 12 8 2 6 6 6 3 2 0 1

La moyenne de cette série est 10,2.
La variance arrondie au centième est 9,37.

► Exemple 2
Soit la série des retards à l'arrivée des vols de la compagnie aérienne X au cours du mois de Janvier 2001.

Retard en min 10 20 30 40 50 60 70 180
Effectif 15 19 10 7 3 2 2 1

La moyenne de cette série arrondie à l'entier est 29 min.
La variance arrondi au centième est 630,80.
2. Ecart type
L'écart type, noté σ, est égal à la racine carrée de la variance.


Remarque
L'écart type est un paramètre systématiquement fourni par toutes les calculatrices après traitement des données entrées dans les listes. Ce n'est pas le cas de la variance. Donc si l'on veut utiliser une calculatrice pour trouver une variance, il faut passer par la valeur de l'écart-type que l'on élèvera au carré.

Pourquoi l'écart type ?
L'écart type renseigne sur la dispersion des valeurs de la série par rapport à la moyenne. Plus l'écart type est petit, plus les valeurs de la série sont regroupées autour de la moyenne, plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées.

► Exemple 1
Voici les notes obtenues au baccalauréat par 68 élèves dans deux matières.
En mathématiques :

Note 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Effectif 5 2 3 3 3 2 3 6 9 4 6 4 4 6 4 2 2 1

En philosophie :

Note 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Effectif 1 1 7 3 10 12 8 2 6 6 6 3 2 0 1

La moyenne des notes de mathématiques est 10,3 et son écart type est 4,6.
La moyenne des notes de philosophie est 10,2 et son écart type est 3,1.
Les deux séries ont pratiquement la même moyenne, mais la différence entre les écart types révèle une plus grande dispersion des notes de mathématiques, ce qui est visible sur les diagrammes en bâtons.


Il est intéressant de calculer le pourcentage des valeurs de la série située dans l'intervalle [moy - σ ; moy + σ].

Pour les notes de Mathématiques, on a :
[moy - σ ; moy + σ] = [10,3 - 4,6 ; 10,3 + 4,6] = [5,7 ; 14,9].
On compte que 46 élèves sur 68 ont des notes comprises entre 5 et 15.

, donc 68 % des notes sont dans l'intervalle : [moy - σ ; moy + σ].

Pour les notes de Philosophie, on a :
[moy - σ ; moy + σ] = [10,2  - 3,1 ; 10,2 + 3,1] = [7,1 ; 13,3].
On compte que 47 élèves sur 68 ont des notes comprises entre 7 et 13.

, donc 69 % des notes sont dans l'intervalle : [moy - σ ; moy + σ].

On remarque que les pourcentages sont très voisins, ce qui indique que les répartitions obéissent à la même loi.

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