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Cours de mathématiques 4e - Additions et soustractions de fractions


Note par nos Maxinautes :  
Objectifs
Depuis la classe de cinquième, on sait additionner et soustraire des fractions sur des cas simples. En classe de quatrième, on saura le faire dans tous les cas.
Qu’est ce que deux fractions égales ? Comment additionner ou soustraire deux fractions ?
1. Fractions égales
Propriété :
On ne change pas la valeur d’un quotient si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
En écriture mathématique, avec a, b et k des nombres relatifs , on obtient :

Exemples:

• Simplifier la fraction suivante au maximum :
  

• Comparer et (déterminer quelle fraction est la plus grande)
     et  
  Or       donc  

2. Additions et soustractions de fractions
Pour additionner (ou soustraire) 2 écritures fractionnaires de dénominateurs différents :
• On les transforme pour que les dénominateurs soient égaux
• On garde le dénominateur commun
• On additionne (ou on soustrait) les numérateurs
En écriture mathématique, avec a, b et c sont des nombres relatifs , on obtient :
                                                               

Exemple 1 :
les fractions ont un dénominateur commun :

        ;         


Exemple 2 : Un dénominateur est multiple de l'autre :

               → 27 est un multiple de 9 car  9 × 3 = 27

               → 20 est un multiple de 5 car  5 × 4 = 20


Exemple 3 : les dénominateurs sont différents et non multiples :

Pour appliquer les règles d’addition et de soustraction, on cherchera un dénominateur commun en établissant la liste des multiples de chacun des dénominateurs.

• Calculer :
 
Multiples de 3 : 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18…
Multiples de 4 : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20…
12 est un multiple pour les deux nombres, on peut donc l’utiliser comme dénominateur commun :
    et          (Règle d'égalité de fractions)
Donc:

• Calculer :
Multiples de 15 : 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75
Multiples de 6 : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48, 54 ; 60
30 et 60 sont des multiples pour les 2 nombres, on peut donc les utiliser comme dénominateur commun. Pour éviter des nombres trop grands et des simplifications, on choisira le plus petit : 30
Donc:
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