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Cours de mathématiques 3e - Développement d'une expression


Note par nos Maxinautes :  
Objectifs
Réduire et ordonner une expression littérale permet de donner une solution unique à un développement.
Comment développer une expression littérale ? Comment réduire puis ordonner une expression ?
1. Développer une expression
Développer, c’est transformer une multiplication en une somme ou en une différence.
a. Distributivité de la multiplication
La multiplication est distributive sur l'addition signifie que, pour tous nombres k, a et b,
k(a + b) = ka + kb

De même la multiplication est distributive sur la soustraction :
k(a − b) = ka − kb.
Exemples
Développer les expressions suivantes :
• 3(x + 7) = 3x + 21 ;
• 9(2x − 7) = 18x − 63 ;
• 2x(3x + 1) = 6x2 + 2x.
b. Double distributivité
La double distributivité de la multiplication sur l’addition signifie que, pour tous nombres a, b, c et d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
De la même manière, on obtiendrait les égalités suivantes :
• (a + b)(c − d) = ac – ad + bc − bd ;
• (a − b)(c + d) = acad – bc − bd ;
• (a − b)(c − d) = ac – ad – bc + bd.
Exemples
Développer les expressions suivantes :
• (x + 3)(2x + 1) = 2x2 + x + 6x + 3 ;
• (5 + x)(3x − 2) = 15x – 10 + 3x2 − 2x ;
• (6 − 5x)(7 − 4x) = 42 − 24x − 35x + 20x2.
c. Identités remarquables
Les identités remarquables sont des développements particuliers d’expressions. On prendra a et b des nombres quelconques.

Développement de (a + b)2
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2.
Exemple
(5x + 1)2 = (5x)2 + 2 × (5x) × 1 + 12 = 25x2 + 10x + 1.

Développement de (a − b)2
(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − 2ab + b2.
Exemple
(3x − 7)2 = (3x)2 − 2 × (3x) × 7 + 72 = 9x2 − 42x + 49.

Développement de (a − b)(a + b)
(a − b)(a + b) = a2 − b2.
Exemple
(4 − x)(4 + x) = 42 − x2 = 16 − x2.

Remarques
• On retrouve chacune de ces expressions en utilisant la double distributivité.
• Ces expressions sont à connaître « par cœur » sans utiliser la double distributivité

2. Réduire et ordonner
a. Réduire une expression
Réduire une expression littérale revient à diminuer le nombre d’opérations la composant.
Exemple
Développer et réduire l’expression (8 − x)(2x − 7).
(8 − x)(2x − 7) = 16x – 56 − 2x2 + 7x = 23x – 56 − 2x2.

Remarque : En pratique, réduire une expression revient à rassembler les termes en « x2 », en « x » et les constantes…
b. Ordonner une expression
Ordonner une expression littérale revient à écrire les termes dans l’ordre de puissances décroissantes ou croissantes de x.
Rappel : x = x1 et 1 = x0.

Exemple
Ordonner l'expression 23x – 56 − 2x2.

23x – 56 − 2x2 n'est pas une expression ordonnée car elle est égale à 23x1 − 56x0 − 2x2.
Les puissances de x sont 1, 0 et 2. Les nombres 1, 0 et 2 ne sont rangés ni dans l'ordre croissant ni dans l'ordre décroissant.

On ordonne cette expression de deux manières différentes :
23x – 56 − 2x2 = −56 + 23x − 2x2 = −2x2 + 23x − 56.

Remarques
• En règle générale, on ordonne dans l’ordre des puissances décroissantes ;
• Réduire et ordonner une expression permet de trouver un résultat unique à un développement.
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