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Cours de mathématiques Terminale L - Matrices carrées


Note par nos Maxinautes :  
Objectif(s)
Rappeler les définitions des matrices carrées.
Préciser les règles de calcul sur les matrices carrées.
1. Définitions
a. Matrice carrée
Soit n un entier naturel non nul.
Une matrice carrée d’ordre n est une matrice de dimension n × n, autrement dit une matrice à n lignes et n colonnes.

Si on note A = (ai,j) une telle matrice, les coefficients ai,i, à savoir a1,1, a2,2, …, an,n, sont les coefficients situés sur ce que l’on appelle la diagonale principale.
Exemple : .
b. Matrice nulle et matrice identité
Soit n un entier naturel non nul.

La matrice nulle d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls ; on la note 0n.

La matrice identité d’ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale principale qui sont eux, égaux à 1 ; on la note In.

Pour toute matrice carrée d’ordre n notée A, on dispose des égalités AIn = InA = A.

Exemple : et .
2. Règles sur les opérations
Les matrices carrées obéissent aux règles générales concernant les opérations matricielles, mais la multiplication est à manier avec précaution.

On sait tous que 23 = 32. On dit que la multiplication des nombres est une opération commutative.
Il est donc tentant de penser qu’il en est de même pour le produit de deux matrices carrées. Alors qu'il n'en n'est rien...

a. Règle 1 : le piège de la non-commutativité du produit matriciel
Il existe des couples (A, B) de matrices carrées d’ordre n qui ne vérifie pas l’égalité : A × B = B × A.
Un petit exemple pour s'en convaincre :




Remarque 
Pour tout couple (a, b) de nombres, si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0 ; on dit que le nombre 0 n’a pas de diviseurs. Il est tentant de penser qu’il en est de même pour les matrices carrées. Or la matrice 0n a des diviseurs...

b. Règle 2 : le piège des diviseurs de la matrice nulle
Il existe des couples (A, B) de matrices carrées d’ordre n qui ne vérifient pas la proposition :
A×B = 0
A = 0 ou B = 0

Un petit exemple pour s'en convaincre :

.

Remarque
Cette règle 2 induit un autre piège, à savoir qu’il peut exister deux matrices d’ordre n distinctes B et C et une matrice d’ordre n notée A telle que A × B = A × C.

Exemple :



Cependant, deux règles restent inchangées par rapport à celles sur les nombres :

► Règle de l'associativité telle que : 2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
► Règle de la distributivité de la multiplication sur l'addition : 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4.

Ces règles sont vraies pour les matrices carrées.


c. Règle 3 : l'associativité et la distributivité de la multiplication sur l'addition
Pour tout triplet (A, B, C) de matrices carrées d’ordre n, on dispose des égalités suivantes :

A × B × C = A × (B × C) = (A × B) × C
A × (B + C) = A × B + A × C.
Pour tout couple (A, B) de matrices carrées d’ordre n et pour tout réel k, on dispose des égalités :
kAB = (kA)B = A(kB).

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