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Cours de mathématiques 3e - Théorème de Thalès


Note par nos Maxinautes :  
Objectifs
Dans certaines configurations particulières dites de « Thalès », on peut calculer des longueurs ou par voie de conséquence prouver que deux droites ne sont pas parallèles.
Qu’est ce qu’une configuration de Thalès ? Comment appliquer le théorème de Thalès pour calculer des longueurs ? Comment prouver avec le théorème de Thalès que deux droites ne sont parallèles ?
1. Configurations de Thalès
On appelle configuration de Thalès une figure telle que :
ABC et AMN sont deux triangles ;
M ∈ (AB) ;
N ∈ (AC).

Il y a trois cas :


2. Théorème de Thalès
Théorème de Thalès
Si les triangles ABC et AMN forment une configuration de Thalès et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors ces triangles ont leurs côtés proportionnels et on a :
.
Exemple 1
On donne AC = 5 cm ; AN = 3 cm ; AB = 7 cm et (NM) // (CB). Calculer AM.
Les droites (d) et (d’) sont sécantes en A ; N ∈ (d’) et C ∈ (d’) ; M ∈ (d) et B ∈ (d).
De plus, (NM) // (CB).
D’après le théorème de Thalès, on a :
.
Soit .
En utilisant le produit en « T » ou « Y », on en déduit que  cm.


Exemple 2
On donne OE = 4,5 cm ; RS = 3,2 cm ; DE = 7,2 cm et (DE) // (RS). Calculer OR.

O ∈ (RE) et O ∈ (DS).
De plus, (DE) // (RS).
D’après le théorème de Thalès, on a :
.
Soit . En utilisant le produit en « T » ou « Y », on en déduit que  cm.


Méthode
Pour écrire correctement les rapports égaux, on peut suivre les étapes suivantes :
Sur la figure ci-contre, N ∈ (AC) et M ∈ (AB). De plus, (NM) // (CB).
On peut utiliser le théorème de Thalès :
• On commence par écrire les symboles de fractions et d’égalité : .
• On place les points des parallèles dans le dernier rapport : .
• On place le dernier point non encore utilisé (ici A) sur chaque rapport : .
• On distribue les lettres du dernier rapport en haut : .
• On distribue les lettres du dernier rapport en bas, de façons à ce que les trois lettres soient alignées (ici, A, N et C d’une part et A, M et B d’autre part sont alignés) : .

Remarque : Ce théorème permet de trouver des longueurs lorsqu’on a des droites parallèles.
3. Conséquence du théorème de Thalès
ABC et AMN sont deux triangles ;
M ∈ (AB) ;
N ∈ (AC).
Si , alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
Exemple
On donne AC = 8 cm ; AN = 3 cm ; AB = 10 cm et AM = 4 cm. Démontrer que (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

Les droites (CN) et (MB) sont sécantes en A. On a :
et .
Donc .
Par conséquence du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.


Remarques

• Cette proposition permet de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles.
• Dans cet exemple, pour montrer que deux droites ne sont parallèles, il suffit de vérifier que deux des rapports ne sont pas égaux.
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