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Cours de mathématiques Terminale L - Matrices inverses


Note par nos Maxinautes :  
Objectif(s)
Définir la notion de matrice inverse.
Donner un moyen simple d’obtenir la matrice inverse d’une matrice carrée d’ordre 2.

Pour tout nombre non-nul X, il existe un unique nombre Y tel que XY = YX = 1.

On dit alors que X est inversible de nombre inverse Y ; on note Y = X-1 = .

Qu’en est-t-il pour les matrices ?

1. Définitions et propriétés
a. Définition 1 : matrice inverse
Soit A une matrice carrée d’ordre n.

On dit que A est une matrice inversible s’il existe une matrice B carrée d’ordre n vérifiant la double égalité : AB = BA = In avec In, la matrice identité d’ordre n.

B est une matrice inverse si B = A-1.

Remarque
La notion de matrices inverses ne concerne que les matrices carrées.
b. Propriété 1 : unicité
Avec les notations de la définition, la matrice B est unique.

Preuve
Soit C une matrice carrée d’ordre n vérifiant aussi la double égalité AC = CA = In.

En utilisant les diverses propriétés du produit matriciel on a :

C = C×In = C×(A×B) = (C×A)×B = In×B = B.

Ainsi, si une matrice carrée est inversible, alors sa matrice inverse est unique.

Exemple : Soient deux matrices A et B telles que : .

On calcule AB puis BA : .

Et on remarque que B = A-1.

c. Propriété 2 : inverse d'une matrice inverse
Soit A une matrice carrée d’ordre n inversible.
La matrice inverse A-1 est inversible et (A-1)-1 = A.

Preuve
On doit démontrer que A-1 × A = A × A-1 = In ; ces égalités sont vraies puisqu’elles définissent l’inversion de A.

2. Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
a. Exemple
Soit A = . La matrice A est-elle inversible ? Si oui, quelle est sa matrice inverse ?

On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I2.

On pose pour cela : .

AB = I2 et

En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution puisque .

Le nombre est appelé le déterminant de ces systèmes ; on dira aussi qu’il s’agit du déterminant de la matrice A et on le notera det(A).

Résolvons ce système : et et .

Ainsi B = et on vérifie ensuite que : .

Donc : A-1 = .


b. Définition 2 : déterrminant d'ordre 2
Soit A une matrice carrée d’ordre 2 définie par A = .
On appelle déterminant de A le nombre . On le note det(A).

c. Propriété 3 : inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
Avec les notations de la définition 2, la matrice A est inversible lorsque det(A) ≠ 0.

De plus, on dispose de l’égalité fournissant A-1 à savoir : det(A)×A-1 = .
Ainsi, A-1 = .

Preuve
On cherche une matrice B carrée d’ordre 2 vérifiant AB = BA = I2.

On pose : .

AB = I2 et

En se remémorant son cours de seconde, on sait que ces deux systèmes ont un unique couple solution lorsque , soit encore .

Autrement dit AB = I2 lorsque det(A) ≠ 0.

Dans ce cas et après calcul on a : et et .
Ainsi, B = .

Reste plus qu'à calculer BA : .

Concrètement, lorsque l’on souhaite inverser une matrice carrée , on procède de la façon suivante :

• On calcule det(A) = ad – bc. S’il est nul, A n’est pas inversible, sinon elle l’est.

• On créé une matrice carrée d’ordre 2 en procédant ainsi :
         - on permute les nombres de la diagonale principale de A : d à la place de a.
         - pour l'autre diagonale, on ne permute pas les nombres mais on prend leurs opposés.

         On obtient finalement une nouvelle matrice égale à det(A)A-1 : .

         On trouve A-1 en divisant les coefficients de cette nouvelle matrice par det(A).

Prenons un exemple pour illustrer cette méthode.

Soit A = :

→ det(A) = -10-(-12) = 2 donc A est une matrice inversible.

→ on obtient la matrice .

→ d'où 2A-1 = A-1 = .

Remarque
Pour l’inversion des matrices carrées d’ordre supérieur à 2, on utilisera des logiciels gratuits ou bien la calculatrice programmable.




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