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Cours de mathématiques 3e - Racines carrées


Note par nos Maxinautes :  
Objectif
Avec le théorème de Pythagore, nous avons déjà rencontré les racines carrées. Depuis l’Antiquité, les nombres générés par ces racines carrées fascinent les mathématiciens. Pythagore et ses disciples ne voulaient pas accepter ces nombres car ils y voyaient la preuve de l’irrationalité du monde, contraire à leurs principes.
Comment calculer une racine carrée ? Quelles sont les règles de calculs sur les racines carrées ?
1. Racines carrées d'un nombre
Soit a un nombre positif.

La racine carrée de a est le nombre dont le carré est égal à a.

On note ce nombre . Le signe s’appelle le radical.

Exemples: Racines carrées de carrés parfaits


De la définition, on en déduit que :

• La racine carrée de a n’existe que si le nombre a est positif.

• Pour tout a positif,   est positif.
  La racine carrée d’un nombre est donc un nombre positif.

• Pour tout nombre a positif,   et

• Les racines carrées de certains nombres ne peuvent pas s’écrire sous forme décimale.
C’est le cas par exemple pour les nombres   et tous les nombres de la forme , où p est un nombre premier.
Dans ce cas, pour obtenir leur valeur approchée, on utilisera la touche de la calculatrice.
2. Produit et quotient de racines carrées
Théorème :                      

Exemples :

Attention, il n’y a pas d’égalité concernant l’addition et la soustraction.

3. Réduction d'expressions avec radicaux
a. Des cas simples
Problème : Ecrire le nombre sous la forme a est un nombre entier positif.
Le but est de décomposer 75 en le produit d’un carré parfait et d’un autre nombre entier.
On remarque que .
En utilisant les propriétés des racines carrées, on trouve : .
On écrit alors : .

Application : Écrire le nombre sous la forme a est un nombre entier.
On remarque que .

Alors : ,

Donc :
b. Des cas complexes
Problème : Ecrire le nombre sous la forme   où a et b sont deux entiers, b étant le plus petit possible.

La technique consiste à décomposer 12, 75 et 300 en le produit d’un carré parfait et d’un autre entier.
On trouve ici :

Alors :

Donc :
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