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Cours de mathématiques Terminale S - Le raisonnement par récurrence


Note par nos Maxinautes :  
Objectif(s)
Apprendre un nouveau type de raisonnement concernant les propositions universelles qui dépendent d’un entier naturel : le raisonnement par récurrence.
1. Le principe
Tout d’abord, en mathématiques, on désigne par proposition un énoncé portant sur des « objets » mathématiques.

Par exemple, (x = 3) est une proposition mathématique.
Pour démontrer une proposition P, il faut en fait justifier que la proposition P est « vraie ».
Les démonstrations sont nombreuses et ont des principes variés : cela dépend du contenu de la proposition P.

Parmi ces principes, il en est un appelé « raisonnement par récurrence » ; il concerne des propositions qui ont deux particularités :
• la proposition doit être universelle, à savoir être vraie pour tous les éléments qui la définissent,
ET
• la proposition doit dépendre d’un entier naturel.

Exemple
Soit (un) une suite et soit P la proposition (pour tout entier naturel n, un < 3) :
« Pour tout » génère l’universalité de P et P dépend d’un entier n ; P sera alors notée Pn pour signifier qu’elle dépend de l’entier n.
La question est donc de savoir comment démontrer Pn.

Parmi les possibilités de démonstrations, il y a le raisonnement par récurrence dont le principe est comparable à l’idée de vouloir « monter un escalier ayant un nombre infini de marches », comme le montre l’illustration ci-dessous.



Formellement cela donne :
Soit N un entier naturel fixé (par exemple 0).
Soit n un entier naturel quelconque.
On pose Pn une proposition universelle dépendant de n.

Principes admis du raisonnement par récurrence :
initialisation :
on démontre que PN est vraie, c’est-à-dire que Pn est vraie au rang initial n = N.
hérédité :
soit k un entier quelconque supérieur ou égal à N.
On démontre la proposition : , c’est-à-dire que Pk+1 est vraie sachant que Pk l’est.
Avec ces deux principes, on dispose alors de la véracité de Pn pour tout entier n supérieur ou égal à N.

Remarques
• L’initialisation correspond au fait de pouvoir être sur la marche initiale de l’escalier. L’hérédité correspond au fait de pouvoir monter une marche quelconque. Les deux principes réunis permettent de « gravir » l’escalier…
• Pour l’hérédité, il faut bien comprendre que l’on ne démontre pas que Pk+1 est vraie, ni que Pk est vraie, MAIS que Pk+1 est vraie sachant que Pk l’est ; on démontre une IMPLICATION.

2. Un exemple pour « mieux » comprendre
Énoncé d’après un exercice du Bac S d’Amérique du Sud, session novembre 2000.

Soit (un) la suite numérique définie sur par : .

Démontrer que la suite (un) est majorée par 4.

Réponse
On doit démontrer la proposition universelle, pour tout entier naturel n, un ≤ 4.
Soit n un entier naturel ; on pose Pn la proposition (un ≤ 4).

On va raisonner par récurrence :
initialisation : on doit démontrer que P0 est vraie, c’est-à-dire que u0 ≤ 4.
On a : u0 = 0 et 0 ≤ 4, donc P0 est vraie.
hérédité : soit k un entier naturel.

On doit démontrer que , c’est–à-dire que l’inégalité (uk+1 ≤ 4) est vraie sachant que l’on dispose de la proposition vraie (uk ≤ 4).

On a :
et et ,

puisque la fonction racine carrée est croissante sur .

Finalement, on a : . Ce qui termine la preuve du principe d’hérédité.

La proposition Pn : (un ≤ 4) est vraie au rang initial n = 0 et de surcroît est héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n.



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