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Cours de mathématiques 3e - Trigonométrie dans le triangle rectangle


Note par nos Maxinautes :  
Objectifs
Depuis la classe de 4ème, on sait calculer des longueurs et des angles dans un triangle rectangle grâce au cosinus d’un angle. En classe de 3ème, suivant les longueurs ou les angles connus, on pourra étendre ces recherches.
Quelles sont les relations entre le cosinus, le sinus, la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux des côtés d’un triangle rectangle ?


1. Définitions
a. Cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle : cosinus d’un angle aigu =
Soit ABC triangle rectangle en A.
Le côté adjacent à l’angle
est le côté [AB], et l’hypoténuse
du triangle ABC est le côté [BC].

On a donc .

Remarque : Comme les longueurs sont des nombres positifs et que l’hypoténuse est le plus grand des côtés du triangle rectangle, on a l’inégalité suivante :
.
b. Sinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle : sinus d’un angle aigu = 
Soit ABC triangle rectangle en A.
Le côté opposé à l’angle
est le côté [AC], et l’hypoténuse
du triangle ABC est le côté [BC].

On a donc .

Remarques
• Comme les longueurs sont des nombres positifs et que l’hypoténuse est le plus grand des côtés du triangle rectangle, on a l’inégalité suivante :
.
• D’après le schéma précédent, nous avons , donc .
c. Tangente d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle : tangente d’un angle aigu =
Soit ABC triangle rectangle en A.
Le côté opposé à l’angle
est le côté [AC] et le côté adjacent
à l'angle est le côté [AC].

On a donc


Remarques
• Les longueurs sont des nombres positifs ; on peut donc écrire pour les angles aigus :
.
• Un moyen pour retenir les définitions est l’anagramme : SOH CAH TOA où par exemple SOH veut dire que le Sinus (S) d’un angle aigu égal au quotient de la longueur du côté Opposé (O) par la longueur de l’Hypoténuse (H).
2. Méthodes
Les deux méthodes décrites ci-dessous utilisent la calculatrice. Pour cela, il faut se placer en mode degré :
• TI-collège Plus : Appuyer sur la touche "mode" puis vérifier que DEG soit sélectionné (sinon, se déplacer sur DEG à l'aide des flèches puis appuyer sur la touche "entrer").
Une fois le mode degré sélectionné, quitter en appuyant sur "annul".
• Casio Collège 2D : Appuyer sur SHIFT SETUP et choisir 3:Deg.
a. Calcul de la longueur d'un côté
Exemple 1
RST est un triangle rectangle en R. Nous avons RS = 5 cm et .
Combien mesure la distance ST à 1 millimètre près ?
• Commencer par faire un schéma codé en précisant ce qui est connu et ce que l’on cherche. 

• Déterminer alors l’outil qui va être utilisé : on connait un angle, son côté adjacent et on cherche l’hypoténuse, c’est donc le cosinus qui va être utilisé.
• RST est un triangle rectangle en R, donc .
• On remplace par les valeurs connues : .
• D’où et ainsi, ST ≈ 5,8 cm.
Remarque : Il faut bien placer les parenthèses autour du 30°. Sans cela, des erreurs peuvent être générées.

Exemple 2
Dans le même triangle RST, on veut calculer la longueur du côté RT.
Dans ce cas, on connait un angle, son côté adjacent et on cherche le côté opposé, c’est donc la tangente qui va être utilisée.
RST est un triangle rectangle en R, donc .
Soit .
Donc RT = tan(30°) × 5 ≈ 2,9 cm.
b. Calcul d'un des angles du triangle rectangle
LMP est un triangle rectangle en P. PM = 3 cm et ML = 7 cm.
Quelle est la mesure de l’angle au degré près ?
• Commencer par faire un schéma codé en précisant ce qui est connu et ce que l’on cherche. 
• Déterminer alors l’outil qui va être utilisé : on connait le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse de ce triangle et on cherche un angle, c’est donc le sinus qui va être utilisé.
• LMP est un triangle rectangle en P, donc .
• On remplace par les valeurs connues : .
• On conduit les calculs en utilisant la calculatrice (touche sin−1, Asn ou Arcsin) : .
D’où .
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