La réussite scolaire pour tous !

Cours de mathématiques 1re STMG - Proportion : définition et propriétés


Note par nos Maxinautes :  
Objectif(s)
Définition - Expressions d’une proportion - Pourcentages de pourcentages
1. Définition
Définition
Soit A un ensemble appelé population, ayant un nombre a d'éléments (a non nul) et B une partie de l'ensemble A, une sous-population, ayant un nombre b d'événements.

Remarque : Le nombre d'éléments d'une population est appelé l'effectif.

La proportion (ou fréquence) de B par rapport à A est le nombre (réel) défini par le rapport :

.
 
Remarques

• Le nombre a est toujours supérieur ou égal au nombre b.
• Par conséquent le rapport est un nombre compris entre 0 et 1.
• On parle toujours de proportion « de »... « par rapport à ».

Donner une proportion sans préciser par rapport à quelle population on se place ne veut strictement rien dire, et c'est malheureusement souvent le cas, même dans les journaux !

Exemple
Dans un lycée de 735 élèves il y a 385 filles. On cherche à calculer la proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves de ce lycée.
La population A est donc ici l'ensemble des élèves du lycée et la sous-population B représente les filles de ce lycée.



La proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves de ce lycée est donc l nombre réel : .

2. Expressions d’une proportion
a. Sous forme décimale
Comme nous l'avons vu, une proportion (d'un ensemble A par rapport à un ensemble B) se calcule sous la forme d'une fraction irréductible.
On peut donc aussi, même si c'est peu courant, donner le résultat sous la forme d'un réel avec une précision donnée.

Exemple
Dans l'exemple précédent, la proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves est égale à , soit environ 0,523809.
On peut décider de donner cette proportion avec 4 chiffres après la virgule (donc à 10-4 près) : 0,5238 à 0,0001 près (ou à 10-4 près).

Remarque
Sous cette forme il faudra toujours préciser le degré d'approximation choisi.
Il est fréquemment de 4 chiffres significatifs.

b. Sous forme de pourcentage
Il est plus habituel, cependant, d'exprimer une proportion sous forme de pourcentage avec une précision de 2 chiffres après la virgule pour le pourcentage lorsque le résultat n'est pas un nombre entier.

Exemple
Dans l'exemple précédent, la proportion est égale à , soit environ , ce qui représente 52,38 % à 0,01 % près.
Ainsi, plus de la moitié des élèves de ce lycée sont des filles.

Remarque
Sous cette forme il faudra toujours préciser le degré d'approximation choisi.
On donne souvent le résultat à 0,0001 près soit 0,01 % près.

Définition
La proportion exprimée en pourcentage de B par rapport à A est le nombre (réel) défini par le rapport : .
Pour obtenir directement le nombre t on peut écrire : .

Remarque : on dit que B représente t % de A.

Exemple et remarque importante
Dans l'exemple précédent, on cherche à calculer la proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves dans un lycée de 735 élèves pour 385 filles.

On peut écrire que la proportion cherchée est :

% à 0,01% près ;
• ou que : .

Donc la proportion de filles dans le lycée est d'environ 52,38 %.

Mais écrire que est égal à 52,38 % est faux.

En effet : .

Il est plus habituel, cependant, d'exprimer une proportion sous forme de pourcentage avec une précision de 2 chiffres après la virgule pour le pourcentage lorsque le résultat n'est pas un nombre entier.
3. Pourcentages de pourcentages
Propriété
Soient A un ensemble ayant un nombre a d'éléments (a non nul), B une partie de l'ensemble A ayant un nombre b (non nul) d'éléments et C une partie de B ayant c éléments.

Si : C représente t1% de B et si B représente t2% de A, alors C représente de A.

Remarque
: on peut écrire ce rapport sous la forme %.

Démonstration

Si B représente t% de A, alors %
Si C représente t% de B, alors  %.

Or : .

Ce qui représente la proportion de C par rapport à A.
Donc représente bien la proportion de C par rapport à A.

Exemple
Une librairie-papeterie fait 38 % de son chiffre d'affaire sur la vente de livres.
Elle a vendu en un mois pour 2 500 euros de livres, dont 69 % en livres de poche.
Calculer le pourcentage de livres de poche sur le chiffre d'affaires global de la librairie-papeterie.

On peut schématiser ainsi le problème :



On est bien dans le cas d'application de la propriété sur les pourcentages de pourcentages.
Donc le pourcentage de livres de poche sur le chiffre d'affaires global de la librairie-papeterie est donné par :
.

Ainsi, 26,22 % du chiffre d'affaires global provient de la vente des livres de poche.

Proportion : définition et propriétés 4/5 basé sur 263 votes.
Vous êtes ici :
Accueil > Fiches de cours du CP à la Terminale > cours de Mathématiques > 1re STMG > Proportion : définition et propriétés
Accueil > Fiches de cours du CP à la Terminale > cours de Mathématiques > 1re STMG > Proportion : définition et propriétés
Voir tout le contenu pédagogique relatif à ce sujet
Connexion ou Créer un compte