La réussite scolaire pour tous !

Cours de mathématiques Terminale L - Loi de probabilité à densité et loi uniforme sur un intervalle


Note par nos Maxinautes :  
Objectif(s)
• Connaître la fonction de densité de la loi uniforme sur [a, b].
• Concevoir et exploiter une simulation dans le cadre d’une loi uniforme.
• Connaître les notions de continuité et d'intégration (primitives) et savoir effectuer des calculs nécessitant une calculatrice ou un logiciel.

Remarque : variable aléatoire continue.

Lors d’une étude (statistique entre autre), on est souvent amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre toutes les valeurs (en continu) d’un intervalle I = [a ; b] de réels. On dira que ces variables sont continues (elles sont parfois regroupées en classes).

Exemple : la taille d’un adulte est une variable continue pouvant prendre toutes les valeurs entre 0,546 m et 2,72 m, selon le livre Guinness des records. La taille réelle est continue, la mesure effectuée est une approximation, donc une valeur ponctuelle, discrète.

1. Définition et propriétés
a. Fonction de densité
Une fonction de densité de probabilité sur un intervalle de réels I = [a ; b] est une fonction f définie sur I, continue et positive sur I telle que : .
b. Quelques propriétés


• Pour tous réels c et d de I, p(c < X < d) = p(X <d) - p(X c).

• Pour tout réel c de I, p(X = c) = 0 (car ).

On en déduit que :
• Pour tous réels c et d de I, p(c < X  d) = p(c  X  d) = p(c  X < d) = p(c < X < d).

• Pour tout réel c de I, p(X > c) = p(X c) = 1 - p(X c).

Remarques

• Toutes ces propriétés doivent s’appliquer sans avoir à réfléchir…

• On considère que le résultat ne change pas si l’intervalle I = [a ; b] est ouvert (par exemple I = [a ; b[) ou que l’une (ou les 2) des bornes soit infinie (I = [a ; ∞[).

• Comprendre que pour une fonction de densité de probabilité sur I = [a ; b], pour tout réel c de I, p(X = c) = 0.

Il est vrai que   ce qui démontre le résultat.

Il s’agit ici d’essayer de comprendre ce qu’il se passe :

     1. Sur le segment [0 ; 1], posons une bille de diamètre 1. Elle occupe toute la place, la probabilité de prendre une bille sur le segment est donc 1.

     2. Sur le même segment [0 ; 1], posons dix billes de diamètre 0,1. Elles occupent toute la place (en longueur), la probabilité de prendre une bille sur le segment est donc 0,1.

     3. Sur le même segment [0 ; 1], posons un million de billes de diamètre 106. La probabilité de prendre une bille sur le segment est donc 0,000 001. Ce qui est très très petit.

     4. Si sur le segment [0 ; 1] nous plaçons n billes, la probabilité de tirer une de ces billes sur ce segment sera de .

Si l’on place une des n billes en chacun des nombres (il y en a une infinité) du segment, alors p = avec .

On peut comprendre pourquoi la probabilité d’obtenir un nombre particulier soit nulle (p(X = c) = 0).

Exemple
Une cible d'un mètre de diamètre est utilisée pour un concours.

• Cas du discret (nous travaillons sur des parties que l’on peut compter) :
Cinq surfaces concentriques, nommées S1, S2, S3, S4 et S5, sont coloriées sur la cible, la 1ère de rayon 0,1 m la 2nde comprise entre la 1ère et le cercle de rayon 0,2 m etc...
On considère qu’il y a équiprobabilité, donc la probabilité d’obtenir une partie est proportionnelle à son aire.

Aire totale : .







et

Alors :
, , , et .

• Cas du continu
La cible est uniforme, sans découpage. La règle choisie est de mesurer après chaque tir la distance entre le centre et le point d’impact. Cette distance est une valeur de l’intervalle [0 ; 0,5].

On choisit la fonction de densité de probabilité sur l’intervalle I = [0 ; 0,5] : .

Montrons qu’il s’agit bien d’une fonction de densité : sur I, c’est une fonction continue (fonction polynôme), positive, avec :

.

f est bien une fonction densité sur I.

Nous avons :




,



.

On constate qu'on obtient les mêmes probabilités que dans le cas précédent.
2. Loi uniforme
a. Définition
Une variable aléatoire X sur I = [a ; b] suit une loi uniforme sur I si elle admet pour densité de probabilité la fonction constante définie sur I par .
b. Propriété
Pour tout réel c de I = [a ; b] : .




Exemple

J’ai fixé rendez-vous à Caroline à 10 h. Elle peut être à l’heure ou arriver avec un retard pouvant atteindre 15 minutes. En considérant que le temps d’attente T suit la loi uniforme sur I = [0 ; 15], définir la fonction de densité, donner la probabilité pour qu’elle arrive en moins de cinq minutes.

T suit la loi uniforme sur [0 ; 15], donc f est définie par : .

.


3. Espérance mathématique
• L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue à densité X sur I = [a ; b], de fonction de densité f est définie par : .
Remarque : dans le cas de n valeurs discrètes xi de probabilités pi (valeurs ponctuelles, valeurs regroupées) : . Le cas « continu » est obtenu par généralisation du cas discret.

• L’espérance mathématique d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme X sur I = [a ; b], est : .
Exemple
Dans l’exemple précédent (le retard de Caroline), quel est le temps moyen auquel on doit s’attendre ?

C’est l’espérance mathématique donc : .

Par conséquent, on doit s’attendre à un retard « moyen » de 7 min et 30 s.



Loi de probabilité à densité et loi uniforme sur un intervalle 4/5 basé sur 61 votes.
Vous êtes ici :
Accueil > Fiches de cours du CP à la Terminale > cours de Mathématiques > Terminale L > Loi de probabilité à densité et loi uniforme sur un intervalle
Accueil > Fiches de cours du CP à la Terminale > cours de Mathématiques > Terminale L > Loi de probabilité à densité et loi uniforme sur un intervalle
Voir tout le contenu pédagogique relatif à ce sujet
Connexion ou Créer un compte