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Cours de mathématiques 2de - Trigonométrie dans le triangle rectangle


Note par nos Maxinautes :  
Objectifs :
Dans le triangle rectangle nous disposons de divers outils qui permettent de relier la longueur des côtés aux mesures des angles. Quelles sont les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente ? Comment les utiliser pour calculer des longueurs ou des mesures d’angles dans un triangle rectangle ? Ce sont les thèmes que nous allons aborder dans cette fiche.
1. Cosinus d'un angle aigu
a. Définition
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient


Exemple : Dans le triangle EFG rectangle en G

Si on considère l'angle aigu , on peut écrire =

Si on considère l'angle aigu , on peut écrire =

b. Application
Cette définition du cosinus peut nous permettre de calculer des longueurs ou des mesures d’angles aigus dans un triangle rectangle.

Exemple
Calcul de longueur dans le triangle ABC rectangle en C.
On donne AB= 5 cm et = 50°. Calculer BC.


Comme le triangle ABC est rectangle, on peut écrire =
Soit cos 50° = d’où BC= 5cos 50° (arrondi au centième).

2. Sinus d'un angle aigu
a. Définition
Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient


Exemple : Dans le triangle EFG rectangle en G

Si on considère l'angle aigu , on peut écrire

Si on considère l'angle aigu , on peut écrire

b. Application
Comme pour le cosinus, cette définition du sinus peut nous permettre de calculer des longueurs ou des mesures d’angles aigus dans un triangle rectangle.

Exemple
Calcul d’angle dans le triangle IJK rectangle en K.
On donne IJ = 5cm et IK = 4,2 cm. Calculer l’angle .


Le triangle IJK est rectangle en K. On peut donc écrire :
Soit
D’où ° (arrondi au dixième).

3. Tangente d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égale au quotient


Exemple : Dans le triangle EFG rectangle en G

Si on considère l'angle aigu , on peut écrire

Si on considère l'angle aigu   , on peut écrire

4. Propriétés
a. Propriétés
Le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
Le sinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
b. Relation entre le sinus, le cosinus et la tangente
Pour un angle aigu on a :
.
c. Relation entre le sinus et le cosinus
Pour un angle aigu on a :

Remarques
est la notation de
et est la notation de

Application
Cette relation peut nous permettre de calculer le sinus ou le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
Dans le triangle MPT rectangle en P. on se donne . Calculer .


On a :


Soit
D'où
Comme le cosinus d'un angle aigu est positif :

on a (arrondi au centième).
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