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Cours de mathématiques 1re L - Suites arithmétiques


Note par nos Maxinautes :  
1. Définition
Une suite arithmétique (un) est une suite pour laquelle, à partir d’un premier terme, chaque terme est obtenu en ajoutant toujours le même nombre au terme précédent.
Le nombre ajouté est appelé raison.
D’après la définition : , r étant la raison de la suite.

Exemple : On place 530 € au taux d’intérêt simple de 3,25 % annuel.
L’intérêt ajouté chaque année est constant (suite arithmétique), il vaut .
On pose u0 = 530 et pour chaque année n, le capital obtenu après n années.
On définit ainsi une suite arithmétique de premier terme u0 = 530 et de raison 17,225.
2. Propriétés
est la définition de la suite arithmétique.
propriété importante permettant de calculer n’importe quel terme.
. La différence entre deux termes est constante (égale à la raison). On dit que la variation absolue () est constante.

Applications :

• Dans l’exemple précédent, quelle somme retire-t-on après 1 ; 2 puis trois années ?
u0 = 530. le capital obtenu après n années.
Après 1 année de placement on retirerait somme qui serait arrondie à 547,22 (les banques n’arrondissent pas comme on pourrait le vouloir).
Après 2 années (lors des calculs il ne faut pas arrondir, c’est seulement le résultat final qui est éventuellement arrondi).
Après 3 années que l’on arrondit à 581,67.

• Avec le même exemple quelle somme retire-t-on après 12 années ?
En utilisant la même formule que précédemment, il faudrait calculer tous les termes jusqu’à u10.
On applique la formule d’où .
3. Variations
• Si 0 < r alors la suite est strictement croissante.
• Si r < 0 alors la suite est strictement décroissante.
• Si r = 0 alors la suite est constante.
4. Représentation graphique
La représentation graphique d’une suite arithmétique est formée de points alignés.

Deux cas :

r < 0
par exemple : (un) : u0 = 5 et .
C’est une suite arithmétique de premier terme u0 = 5 et de raison –2. On peut écrire .
La suite est décroissante.




0 < r
par exemple : (un) : et .
C’est une suite arithmétique de premier terme et de raison 2. On peut écrire .
La suite est croissante.



Remarque : on dit que l’évolution d’une suite arithmétique est linéaire (sa représentation graphique est formée de points d’une droite). Attention ne pas confondre l’évolution (linéaire) et la représentation graphique (points d’une droite affine).
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