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Cours de mathématiques Terminale S - Suites numériques : limites et comparaison


Note par nos Maxinautes :  
Objectif(s)
• Donner des premiers théorèmes « outils » pour déterminer la limite d’une suite numérique.
• Comparer les termes d’une suite à la valeur de la limite finie de celle-ci dans un cas particulier.
1. Un théorème pour déterminer une limite infinie
Soit (u ; v) un couple de suites numériques.

Théorème 1
Soit n0 un entier naturel fixe.
On dispose des propositions suivantes :
    • (P1) Si pour tout entier naturel n supérieur à n0, un ≤ vn et si , alors .
    • (P2) Si pour tout entier naturel n supérieur à n0, vn ≤ un et si , alors .

Seule la proposition (P1) a une démonstration exigible pour le bac, mais les deux propositions sont au programme de TS et doivent être connues.

Illustration de (P1)




Démonstration de (P1)

Soit n0 un entier fixé.

    • On doit démontrer que , c’est-à-dire que tout intervalle de la forme contient toutes les valeurs de vn, à partir d’un rang entier.

Pour cela, on dispose des propositions suivantes :
    • (sur l’illustration, les points vn sont « au dessus » des points un à partir du rang entier n0).

    • , donc pour tout réel A, il existe un rang entier n1 tel que : (sur l’illustration, les points un sont « au dessus » de la droite y = A, à partir du rang entier n1).

Il suffit alors de poser n2 le plus grand des deux entiers, entre n0 et n1 (sur l’illustration on aurait n2 = n1).

En effet, on dispose alors de la proposition :
, soit vn ≥ un.
.

On a : vn ≥ un et un > A, on en déduit : vn > A.

Il existe donc bien un rang, à savoir l’entier n2, à partir duquel tous les termes vn sont dans un intervalle quelconque de la forme .

Exemple
Pour tout entier naturel n, on pose : . Déterminer la limite de an.

Soit n un entier naturel.
On a : n4 + 1 > n4, donc puisque la fonction racine carrée est une fonction croissante.

Donc pour tout entier naturel n, an > n2 et, donc .

2. Un théorème pour déterminer une limite finie
Soit (u ; v ; w) un triplet de suites numériques.

Théorème 2, théorème dit « des gendarmes »
Soit n0 un entier naturel fixe.
Soit L un réel fixe.
On dispose de la proposition suivante :
si pour tout entier naturel supérieur ou égal à n0, vnunwn,
et si lim (vn) = L et si lim (wn) = L, alors lim(un) = L.

Ce théorème est admis conformément au programme ; les termes vn et wn sont « les gendarmes », tandis que le terme un est « le voleur ».

Exemple
Pour tout entier non nul n, on démontre facilement que .
Or et , donc .

Illustration de l’exemple




3. Un théorème pour les suites croissantes convergentes
Soit u = (un) une suite numérique.

Théorème 3
Soit L un nombre réel fixe.
On dispose de la proposition suivante :
si la suite u est croissante et si elle converge vers le nombre L, alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux à L.

Remarque
La démonstration de ce théorème est exigible pour le bac. Elle utilise un raisonnement important, le raisonnement par l’absurde. L’illustration de la démonstration est donnée à la fin de celle-ci. N’hésitez pas à aller voir cette illustration pour mieux comprendre les passages « délicats » de la démonstration.

Démonstration
Soit L un réel fixe.
On doit démontrer la proposition (P), pour tout entier naturel n, un ≤ L.

Pour cela, on dispose des propositions suivantes :
    • Pour tout entier naturel n, un ≤ un+1 (u est croissante).
    • lim (un) = L, donc tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.

On va effectuer un raisonnement par l’absurde, c’est-à-dire que l’on va supposer vraie la proposition (NON P), à savoir : il existe un entier n0 pour lequel > L.
On va alors démontrer que l’on obtient une proposition contradictoire, c’est-à-dire à la fois vraie et fausse, ce qui est bien sûr impossible. D’où l’absurdité de la supposition !

On pose d = un - L.
On a alors : et  puisque u est croissante.

Donc et .

Or lim (un) = L, donc il existe un rang n1 à partir duquel toutes les valeurs de un sont dans l’intervalle , intervalle ouvert contenant L.

On pose alors n2 le plus grand des deux entiers n0 et n1.

Pour n ≥ n2, on a à la fois et .

On obtient ainsi une proposition contradictoire, ce qui est impossible.
Donc la proposition (NON P) supposée vraie est fausse, autrement dit la proposition (P) est vraie.


Illustration de la démonstration





Remarque
On dispose d’un théorème pour les suites décroissantes et convergentes vers L ; alors bien sûr, pour tout entier naturel n, un ≥ L.

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