Les suites géométriques
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- Reconnaitre une suite géométrique.
- Exprimer le terme général en fonction de , et l’utiliser pour calculer un terme donné.
- Modéliser un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.
- Une suite géométrique est une suite récurrente définie par où est un réel appelé raison de la suite.
- Pour tout , , ou bien avec un entier.
- Notion de suite numérique et de terme général d'une suite numérique
- Notion de suite définie par récurrence
- Puissances d’un nombre.
Dans une suite géométrique, on passe d’un terme à son suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul .
La suite définie par avec est une suite géométrique de raison 2.
Les premiers termes de cette suite sont 1, 2, 4, 8, 16…
Une suite de termes non nuls est géométrique si le quotient de 2 termes consécutifs quelconques est constant quel que soit .
Pour montrer qu’une suite est géométrique, on calcule le quotient pour différentes valeurs de . Si le quotient est constant, la suite est géométrique.
On cherche à savoir si la suite définie par est une suite géométrique.
Les premiers termes de la suite sont 2, 10, 50, 250… Il semblerait que la suite soit géométrique de raison 5. Apportons la preuve par le calcul :
en simplifiant par 3 et par .
Comme le quotient est constant, on peut conclure que la suite est géométrique de raison 5 et de premier terme .
Soit une suite
géométrique de raison et de premier terme .
On a les formules suivantes :
ou
|
avec :
|
Pour obtenir :
- en partant de : on multiplie fois par la raison ;
- en partant de (lorsque ) : on multiplie fois par la raison.
Ainsi, , , …
Pour une suite géométrique de raison (–0,3) et de premier terme , on peut écrire et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite.
Par exemple, .
Une suite géométrique étant de terme général , on peut l'écrire où est la fonction exponentielle .
Par conséquent, la représentation graphique d'une suite géométrique est une série de points non alignés.
Une suite géométrique est donc l'expression discrète d'une fonction exponentielle.
, , ,
Une personne place la somme de 10 000 € sur un placement à intérêts composés lui rapportant 3 % par an. Cela signifie que chaque année, 3 % du montant du placement sont ajoutés à la somme déjà présente sur le placement. On note le montant du placement au bout de années.
est le terme
général d'une suite
géométrique de premier terme et de raison 1,03 puisque
« augmenter de 3 % »
revient à « multiplier par
, donc
par 1,03 ». On a donc .
On peut donc écrire le terme
général : .
Ainsi, on peut répondre à une question du
type « quelle sera la somme détenue
sur ce placement au bout de 2 ans ?
5 ans ? 10 ans ? » en
calculant , , .
On peut aussi répondre à une question du type « au bout de combien d'années le montant placé est-il doublé ? » en calculant pour des valeurs successives de jusqu'à avoir .
On peut utiliser un tableur, en tapant « =10000*1,03^A2 » dans la cellule B2 et en étirant, pour répondre que c'est au bout de 24 ans.
On considère un carré de côté 9 cm. On note le polygone obtenu en complétant de la manière suivante.
On partage en 3 segments égaux chaque côté du polygone et on construit, à partir du 2e segment ainsi construit, un triangle équilatéral à l'extérieur du polygone. Voici et :
On poursuit la construction avec le polygone ci-dessous, et ainsi de suite.
On s'intéresse alors à la
suite des périmètres
des figures .
=36cm car est un carré de
côté 9 cm.
= 48 cm car
chacun des 4 côtés
de de longueur 9 cm a
été remplacé
par 4 côtés de longueur
cm, soit 3 cm.
= 64 cm car
chacun des 16 côtés
de de longueur 3 cm a
été remplacé
par 4 côtés de
longueur cm, soit 1 cm. La
suite parait
géométrique de raison .
C'est bien le cas puisque pour passer de la
figure à la
figure , on remplace un
côté de
longueur
par 4 côtés de de longueur . On a bien : la suite est
géométrique.
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