Dérivée, sens de variation et extrema d'une fonction

Si une fonction conserve le même sens de variation sur tout un intervalle (croissante ou décroissante), on dit que cette fonction est monotone.

Exemple
La fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition. Elle est monotone.

Il est commode de regrouper toutes les indications obtenues sur la fonction dans un tableau appelé tableau de variations de la fonction.

Exemple 1
Soit définie sur .
Calculer sa dérivée, en chercher le signe, puis donner les variations de cette fonction sous forme de tableau.

• Calcul de la dérivée :
• Signe de la dérivée : la dérivée s’annule pour x = -2 ou x = 2.
  On fait alors un tableau de signe qui indique que la dérivée est positive sur ]-∞ ; -2],
  négative sur ]-2 ; 2[ et positive sur [2 ; +∞[.
• Variations de la fonction : on calcule les valeurs de la fonction pour les valeurs du tableau de signe (pour -2 et 2) : f(-2) = 17 et f(2) = -15.
• Tableau des variations de f (dans lequel on fait figurer tous les éléments que l'on vient de déterminer) :

Exemple 2
Soit définie sur ]0 ; +∞[.
Calculer sa dérivée, en chercher le signe puis dans un tableau, donner les variations de cette fonction.
f est de la forme donc avec donc et donc   .
.
Le dénominateur est un carré, donc toujours positif (il ne peut pas être nul sur le domaine de définition).
Le signe de la dérivée est alors celui du numérateur, soit strictement négatif.
Cette fonction est strictement décroissante sur son domaine de définition. On dit qu’elle elle est strictement monotone.

Remarque : la valeur 0 est interdite. On le signale en mettant une double barre verticale.

D’après les variations de la fonction définie sur :

On peut déduire par exemple que l’équation f(x) = 0 aura 3 solutions dans :

• une solution sur l’intervalle ]-∞ ; -2] car la fonction prend des valeurs négatives puis positives, donc elle doit passer par 0 ;
• une autre solution sur l’intervalle ]-2 ; 2] car la fonction prend des valeurs positives puis négatives, donc elle doit passer par 0 ;
• une troisième solution sur l’intervalle ]2 ; +∞[ car la fonction prend des valeurs négatives puis positives, donc elle doit passer par 0.